Номер 6.55, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.55, страница 268.

Условие.

6.55 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Сравните:

a) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$;

б) $\sqrt{5} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{8}$;

в) $\sqrt{15} + \sqrt{17}$ и $8$;

г) $16$ и $\sqrt{65} + \sqrt{63}$;

Совет. Воспользуйтесь рассуждением, приведённым в примере 4.

Решение 1.

Решение 4.

а) Сравним числа $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$.

Поскольку оба выражения принимают положительные значения, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при возведении в квадрат положительных чисел сохраняется.

Возведем первое выражение в квадрат:

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Возведем второе выражение в квадрат:

$(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{12} + 6 = 8 + 2\sqrt{12}$.

Теперь сравним результаты: $8 + 2\sqrt{15}$ и $8 + 2\sqrt{12}$.

Вычтем из обоих выражений 8, получим $2\sqrt{15}$ и $2\sqrt{12}$.

Разделим оба выражения на 2, получим $\sqrt{15}$ и $\sqrt{12}$.

Так как $15 > 12$, то $\sqrt{15} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $8 + 2\sqrt{15} > 8 + 2\sqrt{12}$, а значит $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 > (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$.

Поскольку исходные числа положительны, то $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

б) Сравним числа $\sqrt{5} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{8}$.

Оба выражения положительны, поэтому сравним их квадраты.

Возведем первое выражение в квадрат:

$(\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 6} + 6 = 11 + 2\sqrt{30}$.

Возведем второе выражение в квадрат:

$(\sqrt{3} + \sqrt{8})^2 = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 8} + 8 = 11 + 2\sqrt{24}$.

Сравним $11 + 2\sqrt{30}$ и $11 + 2\sqrt{24}$.

Так как $30 > 24$, то $\sqrt{30} > \sqrt{24}$, и следовательно $11 + 2\sqrt{30} > 11 + 2\sqrt{24}$.

Таким образом, $(\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 > (\sqrt{3} + \sqrt{8})^2$.

Поскольку исходные числа положительны, то $\sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8}$.

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{6} > \sqrt{3} + \sqrt{8}$.

в) Сравним числа $\sqrt{15} + \sqrt{17}$ и 8.

Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.

Возведем первое выражение в квадрат:

$(\sqrt{15} + \sqrt{17})^2 = 15 + 2\sqrt{15 \cdot 17} + 17 = 32 + 2\sqrt{255}$.

Возведем второе число в квадрат:

$8^2 = 64$.

Сравним $32 + 2\sqrt{255}$ и $64$.

Вычтем 32 из обоих выражений: $2\sqrt{255}$ и $32$.

Разделим на 2: $\sqrt{255}$ и $16$.

Чтобы сравнить $\sqrt{255}$ и $16$, снова возведем их в квадрат (или представим 16 как $\sqrt{16^2} = \sqrt{256}$).

Получим $255$ и $256$.

Так как $255 < 256$, то $\sqrt{255} < \sqrt{256}$, то есть $\sqrt{255} < 16$.

Следовательно, $32 + 2\sqrt{255} < 64$, а значит $(\sqrt{15} + \sqrt{17})^2 < 8^2$.

Поскольку исходные числа положительны, то $\sqrt{15} + \sqrt{17} < 8$.

Ответ: $\sqrt{15} + \sqrt{17} < 8$.

г) Сравним числа $16$ и $\sqrt{65} + \sqrt{63}$.

Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.

Возведем первое число в квадрат:

$16^2 = 256$.

Возведем второе выражение в квадрат:

$(\sqrt{65} + \sqrt{63})^2 = 65 + 2\sqrt{65 \cdot 63} + 63 = 128 + 2\sqrt{65 \cdot 63}$.

Сравним $256$ и $128 + 2\sqrt{65 \cdot 63}$.

Вычтем 128 из обоих выражений: $128$ и $2\sqrt{65 \cdot 63}$.

Разделим на 2: $64$ и $\sqrt{65 \cdot 63}$.

Чтобы сравнить $64$ и $\sqrt{65 \cdot 63}$, возведем их в квадрат.

$64^2 = 4096$.

$(\sqrt{65 \cdot 63})^2 = 65 \cdot 63 = (64+1)(64-1) = 64^2 - 1^2 = 4096 - 1 = 4095$.

Так как $4096 > 4095$, то $64 > \sqrt{65 \cdot 63}$.

Следовательно, $256 > 128 + 2\sqrt{65 \cdot 63}$, а значит $16^2 > (\sqrt{65} + \sqrt{63})^2$.

Поскольку исходные числа положительны, то $16 > \sqrt{65} + \sqrt{63}$.

Ответ: $16 > \sqrt{65} + \sqrt{63}$.