Номер 6.51, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.51, страница 268.

Условие.

6.51 Докажите, что если $a > 0$, то $a + \frac{1}{a} \ge 2$

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства неравенства $a + \frac{1}{a} \ge 2$ при условии $a > 0$, выполним следующие равносильные преобразования.

Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$a + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $a$. Так как по условию $a > 0$, это преобразование является равносильным.
$\frac{a^2 + 1 - 2a}{a} \ge 0$

Числитель дроби является формулой квадрата разности: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$. Подставим это в неравенство:
$\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$

Проанализируем полученное выражение:
1. Числитель $(a-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a-1)^2 \ge 0$.
2. Знаменатель $a$ по условию задачи — положительное число, то есть $a > 0$.
Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, всегда является неотрицательной. Следовательно, неравенство $\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$ верно для всех $a > 0$.
Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем его сведения к очевидно верному неравенству $\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$ для всех $a > 0$.

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Словесная формулировка: Сумма любого положительного числа и обратного ему числа всегда больше или равна двум. Равенство (когда сумма равна двум) достигается только в том случае, если исходное число равно единице.

Примеры:
- Если $a = 5$ (число больше 1), то $5 + \frac{1}{5} = 5 + 0.2 = 5.2$, что больше 2.
- Если $a = 0.25$ (число меньше 1), то $0.25 + \frac{1}{0.25} = 0.25 + 4 = 4.25$, что больше 2.
- Если $a = 1$, то $1 + \frac{1}{1} = 2$. В этом случае достигается точное равенство.

Ответ: Свойство: сумма положительного числа и его обратного всегда не меньше 2. Примеры: для $a=4$, $4 + 1/4 = 4.25 \ge 2$; для $a=1$, $1 + 1/1 = 2$; для $a=0.5$, $0.5 + 1/0.5 = 2.5 \ge 2$.