Номер 6.44, страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.3. Решение систем линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.44, страница 264.

Условие.

6.44 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Стороны треугольника выражаются различными целыми числами. Какую длину может иметь одна из его сторон, если:

а) длины двух других сторон 5 см и 4 см, а периметр не превосходит $P \le 15 \text{ см}$;

б) длины двух других сторон 8 см и 5 см, а периметр не превосходит $P \le 20 \text{ см}$?

Решение 1.

Решение 4.

а)

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, их длины — это различные целые числа. Нам дано, что две стороны равны $a = 5$ см и $b = 4$ см. Длину третьей стороны обозначим как $c$.

Для существования треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. Запишем систему неравенств:
$a + b > c \implies 5 + 4 > c \implies 9 > c$
$a + c > b \implies 5 + c > 4 \implies c > -1$ (это неравенство всегда выполняется, так как длина стороны — положительная величина)
$b + c > a \implies 4 + c > 5 \implies c > 1$

Из этих неравенств следует, что длина стороны $c$ должна находиться в интервале $1 < c < 9$.

Теперь используем второе условие: периметр $P$ не превосходит 15 см.
$P = a + b + c = 5 + 4 + c = 9 + c$
$P \le 15 \implies 9 + c \le 15$
$c \le 15 - 9$
$c \le 6$

Объединим все условия для $c$:
1. $c$ — целое число.
2. $1 < c < 9$ и $c \le 6$, что в совокупности дает $1 < c \le 6$.
3. Стороны должны быть различны, то есть $c \ne a$ и $c \ne b$. Значит, $c \ne 5$ и $c \ne 4$.

Из условия $1 < c \le 6$ возможными целыми значениями для $c$ являются 2, 3, 4, 5, 6.
Исключаем из этого списка значения 4 и 5, так как длины сторон должны быть различными.
Таким образом, возможные значения для длины третьей стороны: 2 см, 3 см и 6 см.

Ответ: третья сторона может иметь длину 2 см, 3 см или 6 см.

б)

Аналогично, пусть стороны треугольника $a=8$ см, $b=5$ см, а третья сторона равна $c$. Все стороны — различные целые числа.

Применим неравенство треугольника:
$a + b > c \implies 8 + 5 > c \implies 13 > c$
$a + c > b \implies 8 + c > 5 \implies c > -3$ (всегда верно)
$b + c > a \implies 5 + c > 8 \implies c > 3$

Из неравенств следует, что $3 < c < 13$.

Теперь используем условие про периметр: $P \le 20$ см.
$P = a + b + c = 8 + 5 + c = 13 + c$
$P \le 20 \implies 13 + c \le 20$
$c \le 20 - 13$
$c \le 7$

Объединим все условия для $c$:
1. $c$ — целое число.
2. $3 < c < 13$ и $c \le 7$, что дает $3 < c \le 7$.
3. Стороны должны быть различны, то есть $c \ne 8$ и $c \ne 5$.

Из условия $3 < c \le 7$ возможными целыми значениями для $c$ являются 4, 5, 6, 7.
Исключаем из этого списка значение 5 (значение 8 уже не входит в данный диапазон).
Таким образом, возможные значения для длины третьей стороны: 4 см, 6 см и 7 см.

Ответ: третья сторона может иметь длину 4 см, 6 см или 7 см.