Номер 6.49, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.49, страница 267.

Условие.

6.49 Докажите разными способами свойство неравенств: если $a > b$ и $c > d$ и a, b, c, d — числа положительные, то $ac > bd$.

Подсказка. Способ 1.

Сравните разность $ac - bd$ с нулём:

$ac - bd = ac - bd + bc - bc = \dots$

Способ 2.

Воспользуйтесь свойством транзитивности неравенств.

Решение 1.

Решение 4.

Способ 1.

Чтобы доказать неравенство $ac > bd$, докажем, что разность $ac - bd$ является положительным числом. Для этого преобразуем данную разность, прибавив и вычтя одно и то же выражение $bc$, как предложено в подсказке.

$ac - bd = ac - bc + bc - bd$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$

Проанализируем знаки полученных слагаемых.

Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ положительна: $a - b > 0$.

Из условия $c > d$ следует, что разность $c - d$ положительна: $c - d > 0$.

Также по условию числа $b$ и $c$ являются положительными: $b > 0$ и $c > 0$.

Рассмотрим первое слагаемое $c(a - b)$. Оно является произведением двух положительных чисел ($c > 0$ и $a - b > 0$), следовательно, само является положительным: $c(a - b) > 0$.

Рассмотрим второе слагаемое $b(c - d)$. Оно также является произведением двух положительных чисел ($b > 0$ и $c - d > 0$), следовательно, оно также положительно: $b(c - d) > 0$.

Таким образом, выражение $ac - bd$ равно сумме двух положительных чисел $c(a - b)$ и $b(c - d)$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

$ac - bd = c(a - b) + b(c - d) > 0$

Поскольку $ac - bd > 0$, то $ac > bd$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано путем сравнения разности $ac - bd$ с нулем.

Способ 2.

Воспользуемся основными свойствами числовых неравенств, а именно свойством умножения неравенства на положительное число и свойством транзитивности.

Нам даны два неравенства $a > b$ и $c > d$, а также условие, что все числа $a, b, c, d$ являются положительными.

Возьмем первое неравенство $a > b$. Так как по условию $c > 0$, мы можем умножить обе части этого неравенства на $c$. Знак неравенства при этом сохранится:

$a \cdot c > b \cdot c$

Получили первое промежуточное неравенство: $ac > bc$.

Теперь возьмем второе неравенство $c > d$. Так как по условию $b > 0$, мы можем умножить обе части этого неравенства на $b$. Знак неравенства также сохранится:

$c \cdot b > d \cdot b$

Получили второе промежуточное неравенство: $bc > bd$.

Теперь у нас есть система из двух неравенств:

$ac > bc$
$bc > bd$

Применяя свойство транзитивности (если для чисел $x, y, z$ выполняются неравенства $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем заключить, что:

$ac > bd$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано с использованием свойства умножения неравенств на положительное число и свойства транзитивности.