Номер 6.48, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.48, страница 267.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ (6.48–6.52)

6.48 Докажите свойства неравенств:

а) если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$;

б) если $a > b$, то $a + c > b + c$;

в) если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$;

г) если $a \le b$ и $c < 0$, то $ac \ge bc$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Докажем свойство транзитивности. По определению, неравенство $a \le b$ означает, что разность $b - a$ является неотрицательным числом, то есть $b - a \ge 0$. Аналогично, неравенство $b \le c$ означает, что разность $c - b$ является неотрицательным числом, то есть $c - b \ge 0$.

Нам нужно доказать, что $a \le c$, что эквивалентно доказательству того, что разность $c - a$ является неотрицательным числом.

Рассмотрим разность $c - a$. Представим её в виде суммы двух известных нам разностей, прибавив и отняв $b$: $c - a = c - b + b - a = (c - b) + (b - a)$.

Так как по условию $c - b \ge 0$ и $b - a \ge 0$, то их сумма также является неотрицательным числом: $(c - b) + (b - a) \ge 0$.

Следовательно, $c - a \ge 0$, что по определению означает $a \le c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$.

б) Докажем свойство прибавления числа к неравенству. По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.

Нам нужно доказать, что $a + c > b + c$. Для этого рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: $(a + c) - (b + c)$.

Упростим это выражение, раскрыв скобки: $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.

Поскольку по условию $a > b$, то разность $a - b$ положительна. Следовательно, и равная ей разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.

А это по определению означает, что $a + c > b + c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $a > b$, то к обеим частям неравенства можно прибавить любое число $c$, при этом знак неравенства не изменится: $a + c > b + c$.

в) Докажем свойство умножения неравенства на положительное число. По условию $a > b$, что означает, что разность $a - b$ положительна: $a - b > 0$. Также по условию $c$ является положительным числом: $c > 0$.

Нам нужно доказать, что $ac > bc$. Для этого рассмотрим разность $ac - bc$.

Вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение двух положительных чисел: $c > 0$ и $(a - b) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, $c(a - b) > 0$, а значит и разность $ac - bc > 0$.

Это по определению означает, что $ac > bc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если обе части верного неравенства $a > b$ умножить на одно и то же положительное число $c$, то получится верное неравенство того же знака: $ac > bc$.

г) Докажем свойство умножения неравенства на отрицательное число. По условию $a \le b$, что означает, что разность $b - a$ является неотрицательным числом: $b - a \ge 0$. Умножив на $-1$, получим $-(b - a) \le 0$, то есть $a - b \le 0$. Таким образом, разность $a - b$ является неположительным числом.

По условию $c < 0$, то есть $c$ - отрицательное число.

Нам нужно доказать, что $ac \ge bc$. Рассмотрим разность $ac - bc$.

Вынесем общий множитель $c$: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы имеем произведение отрицательного числа $c$ и неположительного числа $(a - b)$.

Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $a < b$, то $a - b < 0$ (отрицательное). Тогда произведение двух отрицательных чисел $c$ и $(a - b)$ будет положительным: $c(a - b) > 0$.
2. Если $a = b$, то $a - b = 0$. Тогда произведение $c \cdot (a - b)$ будет равно $0$.

Объединяя оба случая, получаем, что произведение $c(a - b)$ является неотрицательным числом, то есть $c(a - b) \ge 0$.

Следовательно, $ac - bc \ge 0$, что по определению означает $ac \ge bc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если обе части верного неравенства $a \le b$ умножить на одно и то же отрицательное число $c$, то знак неравенства изменится на противоположный: $ac \ge bc$.