Номер 6.50, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Доказательство неравенств (Узнайте больше). Глава 6. Неравенства - номер 6.50, страница 268.

Условие.

6.50 Докажите, что для любых чисел a и b:

а) $a^2 + b^2 \ge 2ab;$

б) $(a + b)b \ge ab;$

в) $a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab;$

г) $a(a - b) \ge b(a - b);$

д) $\frac{a^2 + 1}{2} \ge a;$

е) $\frac{a}{a^2 + 1} \le \frac{1}{2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$, перенесем все члены в одну сторону:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности $(a - b)$:

$(a - b)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, данное неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать неравенство $(a + b)b \ge ab$, раскроем скобки в левой части:

$ab + b^2 \ge ab$

Вычтем $ab$ из обеих частей неравенства:

$b^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать неравенство $a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab$, перенесем $4ab$ в левую часть:

$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Это выражение является квадратом разности:

$(a - b)^2 \ge 0$

Данное неравенство верно, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать неравенство $a(a - b) \ge b(a - b)$, перенесем все члены в левую часть:

$a(a - b) - b(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a - b)(a - b) \ge 0$

$(a - b)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любых чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Ответ: Что и требовалось доказать.

д) Чтобы доказать неравенство $\frac{a^2 + 1}{2} \ge a$, умножим обе части на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства сохраняется:

$a^2 + 1 \ge 2a$

Перенесем $2a$ в левую часть:

$a^2 - 2a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности $(a-1)$:

$(a - 1)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого числа $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Ответ: Что и требовалось доказать.

е) Чтобы доказать неравенство $\frac{a}{a^2 + 1} \le \frac{1}{2}$, преобразуем его. Знаменатель $a^2 + 1$ всегда строго положителен, так как $a^2 \ge 0$, и, следовательно, $a^2+1 \ge 1$. Мы можем умножить обе части неравенства на $2(a^2 + 1)$, при этом знак неравенства не изменится:

$2(a^2 + 1) \cdot \frac{a}{a^2 + 1} \le 2(a^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}$

$2a \le a^2 + 1$

Перенесем $2a$ в правую часть:

$0 \le a^2 - 2a + 1$

Выражение в правой части является полным квадратом разности $(a-1)$:

$0 \le (a - 1)^2$

Это неравенство верно для любого числа $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.