Номер 6.41, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.3. Решение систем линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.41, страница 263.

Условие.

Решите систему неравенств (6.41–6.42).

6.41 a)

$$\begin{cases} 3 - \frac{z-1}{2} > 1 \\ 2z + \frac{z}{3} < 7; \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} \frac{2x+1}{5} - 1 \le 2 \\ \frac{x}{5} - 2 \ge x; \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1; \end{cases}$$

г)

$$\begin{cases} \frac{y+1}{4} - \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3} \\ \frac{y-3}{4} + y < 2y - \frac{y-3}{8}. \end{cases}$$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3 - \frac{z-1}{2} > 1 \\ 2z + \frac{z}{3} < 7 \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство: $3 - \frac{z-1}{2} > 1$. Перенесем 3 в правую часть: $-\frac{z-1}{2} > 1 - 3$, что дает $-\frac{z-1}{2} > -2$. Умножим обе части на $-2$ и сменим знак неравенства на противоположный: $z-1 < 4$. Отсюда получаем $z < 5$.

Теперь решим второе неравенство: $2z + \frac{z}{3} < 7$. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби: $3 \cdot 2z + 3 \cdot \frac{z}{3} < 3 \cdot 7$, что упрощается до $6z + z < 21$. Сложим слагаемые с $z$: $7z < 21$. Разделив на 7, получим $z < 3$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств, то есть $z < 5$ и $z < 3$. Общее решение: $z < 3$.

Ответ: $(-\infty; 3)$.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{2x+1}{5} - 1 \le 2 \\ \frac{x}{5} - 2 \ge x \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $\frac{2x+1}{5} - 1 \le 2$. Прибавим 1 к обеим частям: $\frac{2x+1}{5} \le 3$. Умножим на 5: $2x+1 \le 15$. Вычтем 1: $2x \le 14$. Разделим на 2: $x \le 7$.

Решим второе неравенство: $\frac{x}{5} - 2 \ge x$. Умножим все члены на 5: $x - 10 \ge 5x$. Перенесем $x$ вправо, а $-10$ оставим слева: $-10 \ge 5x - x$, что дает $-10 \ge 4x$. Разделим на 4: $-\frac{10}{4} \ge x$, то есть $x \le -2.5$.

Находим пересечение решений $x \le 7$ и $x \le -2.5$. Общим решением является $x \le -2.5$.

Ответ: $(-\infty; -2.5]$.

в)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4}$. Умножим обе части на общий знаменатель 12: $12 \cdot 1 - 12 \cdot \frac{2x+3}{3} > 12 \cdot 2 - 12 \cdot \frac{x+1}{4}$, что равносильно $12 - 4(2x+3) > 24 - 3(x+1)$. Раскроем скобки: $12 - 8x - 12 > 24 - 3x - 3$. Упростим: $-8x > 21 - 3x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону: $-8x + 3x > 21$, что дает $-5x > 21$. Разделим на $-5$ и сменим знак неравенства: $x < -\frac{21}{5}$, или $x < -4.2$.

Решим второе неравенство: $5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1$. Раскроем скобки: $5x - 20 - 8 > 12x - 6 - 1$. Упростим: $5x - 28 > 12x - 7$. Перенесем слагаемые: $5x - 12x > -7 + 28$. Получим $-7x > 21$. Разделим на $-7$ и сменим знак неравенства: $x < -3$.

Находим пересечение решений $x < -4.2$ и $x < -3$. Общим решением будет $x < -4.2$.

Ответ: $(-\infty; -4.2)$.

г)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{y+1}{4} - \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3} \\ \frac{y-3}{4} + y < 2y - \frac{y-3}{8} \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $\frac{y+1}{4} - \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3}$. Умножим обе части на общий знаменатель 12: $3(y+1) - 2(y+1) < 4(y+1)$. Упростим левую часть: $y+1 < 4(y+1)$. Раскроем скобки: $y+1 < 4y+4$. Перенесем слагаемые: $1-4 < 4y-y$, что дает $-3 < 3y$. Разделим на 3: $-1 < y$, или $y > -1$.

Решим второе неравенство: $\frac{y-3}{4} + y < 2y - \frac{y-3}{8}$. Умножим обе части на общий знаменатель 8: $2(y-3) + 8y < 16y - (y-3)$. Раскроем скобки: $2y - 6 + 8y < 16y - y + 3$. Упростим: $10y - 6 < 15y + 3$. Перенесем слагаемые: $-6 - 3 < 15y - 10y$. Получим $-9 < 5y$. Разделим на 5: $-\frac{9}{5} < y$, или $y > -1.8$.

Находим пересечение решений $y > -1$ и $y > -1.8$. Общим решением будет $y > -1$.

Ответ: $(-1; \infty)$.