Номер 6.39, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.3. Решение систем линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.39, страница 263.

Условие.

6.39 а) $ \begin{cases} 3x + 4 > 4 \\ \frac{x}{5} - x \ge 8; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{z-1}{2} > 1 \\ z + 3 > 0; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} \frac{2y-2}{2} \le -\frac{1}{3} \\ 1 - 4y \ge 0. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 4 > 4 \\ \frac{x}{5} - x \ge 8 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3x + 4 > 4$

$3x > 4 - 4$

$3x > 0$

$x > 0$

Решением первого неравенства является интервал $(0; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{5} - x \ge 8$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x}{5} - \frac{5x}{5} \ge 8$

$-\frac{4x}{5} \ge 8$

Умножим обе части на 5:

$-4x \ge 40$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -10$

Решением второго неравенства является интервал $(-\infty; -10]$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x > 0$ и $x \le -10$.

Так как интервалы $(0; +\infty)$ и $(-\infty; -10]$ не имеют общих точек, система не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{z-1}{2} > 1 \\ z+3 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{z-1}{2} > 1$

Умножим обе части на 2:

$z-1 > 2$

$z > 2 + 1$

$z > 3$

Решением первого неравенства является интервал $(3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$z+3 > 0$

$z > -3$

Решением второго неравенства является интервал $(-3; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $z > 3$ и $z > -3$.

Пересечением интервалов $(3; +\infty)$ и $(-3; +\infty)$ является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $z \in (3; +\infty)$

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2y-2}{2} \le -\frac{1}{3} \\ 1 - 4y \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2y-2}{2} \le -\frac{1}{3}$

Упростим левую часть, вынеся 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(y-1)}{2} \le -\frac{1}{3}$

$y - 1 \le -\frac{1}{3}$

$y \le 1 - \frac{1}{3}$

$y \le \frac{2}{3}$

Решением первого неравенства является интервал $(-\infty; \frac{2}{3}]$.

2. Решим второе неравенство:

$1 - 4y \ge 0$

$1 \ge 4y$

$\frac{1}{4} \ge y$, что то же самое, что и $y \le \frac{1}{4}$

Решением второго неравенства является интервал $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

3. Найдем пересечение решений: $y \le \frac{2}{3}$ и $y \le \frac{1}{4}$.

Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ и $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$.

Так как $\frac{3}{12} < \frac{8}{12}$, то $\frac{1}{4} < \frac{2}{3}$.

Пересечением интервалов $(-\infty; \frac{2}{3}]$ и $(-\infty; \frac{1}{4}]$ будет меньший из них, то есть $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

Ответ: $y \in (-\infty; \frac{1}{4}]$