Номер 1, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 6. Неравенства - номер 1, страница 269.

Условие.

1 Объясните, сформулировав соответствующие свойства неравенств, как от первого неравенства перейти ко второму:

а) $x - 2 < 3$; $x < 5$;

б) $3x \le 12$; $x \le 4;

в) $-7x \ge 2$; $x \le -\frac{2}{7}$;

г) $2x + 1 \le 5$; $x \le 2.

Решение 1.

Решение 4.

а) Для перехода от неравенства $x - 2 < 3$ к неравенству $x < 5$ применяется следующее свойство неравенств:

Если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом сохраняется.

В данном случае, чтобы выделить переменную $x$, мы прибавляем число 2 к обеим частям неравенства:

$x - 2 + 2 < 3 + 2$

$x < 5$

Ответ: К обеим частям неравенства прибавили число 2. Согласно свойству неравенств, это преобразование не меняет знак неравенства.

б) Для перехода от неравенства $3x \le 12$ к неравенству $x \le 4$ применяется следующее свойство неравенств:

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом сохраняется.

Чтобы найти $x$, мы делим обе части неравенства на положительное число 3:

$\frac{3x}{3} \le \frac{12}{3}$

$x \le 4$

Ответ: Обе части неравенства разделили на положительное число 3. Согласно свойству неравенств, это преобразование не меняет знак неравенства.

в) Для перехода от неравенства $-7x \ge 2$ к неравенству $x \le -\frac{2}{7}$ применяется следующее свойство неравенств:

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Чтобы найти $x$, мы делим обе части неравенства на отрицательное число -7. При этом необходимо изменить знак неравенства с "$\ge$" на "$\le$":

$\frac{-7x}{-7} \le \frac{2}{-7}$

$x \le -\frac{2}{7}$

Ответ: Обе части неравенства разделили на отрицательное число -7, изменив при этом знак неравенства на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

г) Для перехода от неравенства $2x + 1 \le 5$ к неравенству $x \le 2$ последовательно применяются два свойства неравенств.

1. Сначала используем свойство о переносе слагаемых (или вычитании одного и того же числа из обеих частей). Вычитаем 1 из обеих частей неравенства. Знак неравенства не меняется:

$2x + 1 - 1 \le 5 - 1$

$2x \le 4$

2. Затем используем свойство о делении на положительное число. Делим обе части полученного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$

$x \le 2$

Ответ: Сначала из обеих частей неравенства вычли 1 (знак неравенства сохранился), а затем обе части разделили на положительное число 2 (знак неравенства снова сохранился).