Номер 6, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 6. Неравенства - номер 6, страница 269.

Условие.

6 Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} 2x - 18 < 0 \\ 5x < 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 1 \ge 5x - 1 \\ 9x + 15 \ge 5 - x; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ x + 2 < 3x - 16. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 18 < 0 \\ 5x < 1 \end{cases}$

Сначала решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

$2x - 18 < 0$

Перенесем 18 в правую часть с противоположным знаком:

$2x < 18$

Разделим обе части на 2:

$x < 9$

2. Решение второго неравенства:

$5x < 1$

Разделим обе части на 5:

$x < \frac{1}{5}$

3. Теперь найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x < 9$ и $x < \frac{1}{5}$.

Так как любое число, которое меньше $\frac{1}{5}$, автоматически меньше 9, то пересечением этих двух множеств будет интервал $x < \frac{1}{5}$.

Запишем решение в виде интервала: $(-\infty; \frac{1}{5})$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{5})$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \geq 5x - 1 \\ 9x + 15 \geq 5 - x \end{cases}$

Сначала решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

$x - 1 \geq 5x - 1$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены - в правой:

$x - 5x \geq -1 + 1$

$-4x \geq 0$

Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq 0$

2. Решение второго неравенства:

$9x + 15 \geq 5 - x$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены - в правой:

$9x + x \geq 5 - 15$

$10x \geq -10$

Разделим обе части на 10:

$x \geq -1$

3. Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \leq 0$ и $x \geq -1$.

Это все числа, которые одновременно больше или равны -1 и меньше или равны 0. На числовой прямой это отрезок между -1 и 0, включая концы.

Запишем решение в виде отрезка: $[-1; 0]$.

Ответ: $[-1; 0]$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 7 - x > 0 \\ x + 2 < 3x - 16 \end{cases}$

Сначала решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

$7 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть (или -7 в правую и умножим на -1):

$-x > -7$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 7$

2. Решение второго неравенства:

$x + 2 < 3x - 16$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены - в правой:

$x - 3x < -16 - 2$

$-2x < -18$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 9$

3. Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 7$ и $x > 9$.

Нам нужно найти числа, которые одновременно меньше 7 и больше 9. Таких чисел не существует. Следовательно, множества решений этих двух неравенств не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.