Номер 4, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 6. Неравенства - номер 4, страница 269.

Условие.

4 Покажите на примерах систем $ \begin{cases} x < 2 \\ x < 3 \end{cases} $ и $ \begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases} $, как с помощью координатной прямой находят множество решений системы неравенств.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения множества решений системы неравенств с помощью координатной прямой нужно выполнить следующие шаги:

1. Начертить координатную прямую.
2. Отметить на прямой числа, фигурирующие в неравенствах. Если неравенство строгое (знаки $<$ или $>$), точка отмечается "выколотой" (пустым кружком). Если неравенство нестрогое (знаки $\le$ или $\ge$), точка отмечается закрашенной.
3. Для каждого неравенства системы заштриховать на прямой область, соответствующую его решению.
4. Решением системы будет пересечение заштрихованных областей, то есть та часть прямой, которая оказалась заштрихованной для всех неравенств системы.

Рассмотрим предложенные примеры.

$\begin{cases} x < 2 \\ x < 3 \end{cases}$

1. Начертим координатную прямую и отметим на ней точки 2 и 3. Оба неравенства строгие, поэтому точки будут выколотыми.

2. Решением неравенства $x < 2$ являются все числа, расположенные левее точки 2. Заштрихуем этот промежуток: $(-\infty; 2)$.

3. Решением неравенства $x < 3$ являются все числа, расположенные левее точки 3. Заштрихуем этот промежуток: $(-\infty; 3)$.

4. Теперь найдем пересечение этих двух множеств. Область, в которой штриховки пересекаются, — это промежуток, где выполняются оба условия одновременно. Если число меньше 2, то оно автоматически меньше 3. Следовательно, общая часть — это все числа, которые меньше 2.

Таким образом, множеством решений системы является интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

$\begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$

1. Начертим координатную прямую и отметим на ней выколотые точки 2 и 3, так как оба неравенства строгие.

2. Решением неравенства $x > 2$ являются все числа, расположенные правее точки 2. Заштрихуем этот промежуток: $(2; +\infty)$.

3. Решением неравенства $x < 3$ являются все числа, расположенные левее точки 3. Заштрихуем этот промежуток: $(-\infty; 3)$.

4. Находим пересечение заштрихованных областей. Штриховка для первого неравенства идет вправо от 2, а для второго — влево от 3. Их общая часть — это все числа, которые находятся между 2 и 3.

Таким образом, множеством решений системы является интервал $(2; 3)$. Это можно записать в виде двойного неравенства $2 < x < 3$.

Ответ: $x \in (2; 3)$.