Номер 6.29, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.29, страница 258.

Условие.

6.29 a) $\frac{2y}{3} - \frac{y}{6} < 1;$

б) $\frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4};$

в) $\frac{4x + 1}{2} > \frac{7x - 30}{6};$

г) $\frac{y + 17}{4} < \frac{3(10 + y)}{5}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $ \frac{2y}{3} - \frac{y}{6} < 1 $

Чтобы решить это линейное неравенство, избавимся от дробей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$ 6 \cdot (\frac{2y}{3} - \frac{y}{6}) < 6 \cdot 1 $

$ \frac{6 \cdot 2y}{3} - \frac{6 \cdot y}{6} < 6 $

$ 2 \cdot 2y - y < 6 $

Теперь упростим выражение в левой части:

$ 4y - y < 6 $

$ 3y < 6 $

Разделим обе части на 3, чтобы найти $y$:

$ y < \frac{6}{3} $

$ y < 2 $

Ответ: $y < 2$.

б) $ \frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4} $

Для решения этого неравенства сначала избавимся от знаменателей. Умножим обе части на наименьшее общее кратное чисел 3 и 4, то есть на 12. Знак неравенства при умножении на положительное число (12) не изменится.

$ 12 \cdot \frac{12 - 2x}{3} > 12 \cdot \frac{3x - 1}{4} $

$ 4(12 - 2x) > 3(3x - 1) $

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$ 48 - 8x > 9x - 3 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Перенесем $-8x$ вправо, а $-3$ влево:

$ 48 + 3 > 9x + 8x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 51 > 17x $

Разделим обе части на 17. Знак неравенства не меняется.

$ \frac{51}{17} > x $

$ 3 > x $

Это неравенство можно записать как $x < 3$.

Ответ: $x < 3$.

в) $ \frac{4x + 1}{2} > \frac{7x - 30}{6} $

Избавимся от дробей, умножив обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 2 и 6, то есть на 6. Знак неравенства сохранится.

$ 6 \cdot \frac{4x + 1}{2} > 6 \cdot \frac{7x - 30}{6} $

$ 3(4x + 1) > 1(7x - 30) $

Раскроем скобки:

$ 12x + 3 > 7x - 30 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую.

$ 12x - 7x > -30 - 3 $

Упростим обе части:

$ 5x > -33 $

Разделим обе части на 5:

$ x > -\frac{33}{5} $

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$ x > -6.6 $

Ответ: $x > -6.6$.

г) $ \frac{y + 17}{4} < \frac{3(10 + y)}{5} $

Для начала раскроем скобки в числителе правой части:

$ \frac{y + 17}{4} < \frac{30 + 3y}{5} $

Теперь умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, которое равно 20. Знак неравенства не изменится.

$ 20 \cdot \frac{y + 17}{4} < 20 \cdot \frac{30 + 3y}{5} $

$ 5(y + 17) < 4(30 + 3y) $

Раскроем скобки в обеих частях:

$ 5y + 85 < 120 + 12y $

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а константы — в левую, чтобы сохранить положительный коэффициент при $y$.

$ 85 - 120 < 12y - 5y $

Приведем подобные слагаемые:

$ -35 < 7y $

Разделим обе части на 7. Знак неравенства не изменится.

$ \frac{-35}{7} < y $

$ -5 < y $

Это неравенство эквивалентно записи $y > -5$.

Ответ: $y > -5$.