Номер 6.23, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.23, страница 257.

Условие.

6.23 а) $ \frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \ge x + \frac{1}{4}; $

б) $ \frac{x}{2} + \frac{1}{6} \le \frac{2}{3} - x; $

В) $ -\frac{x}{4} - 3 < \frac{x}{8} - 1; $

Г) $ 1 - x < \frac{x}{2} + 1; $

Решение 1.

Решение 4.

а)

Дано неравенство: $ \frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \ge x + \frac{1}{4} $.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (4 и 2), то есть на 4.
$ 4 \cdot (\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}) \ge 4 \cdot (x + \frac{1}{4}) $
$ 3x - 2 \ge 4x + 1 $
Теперь сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой.
$ 3x - 4x \ge 1 + 2 $
$ -x \ge 3 $
Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$ x \le -3 $

Ответ: $ x \in (-\infty; -3] $.

б)

Дано неравенство: $ \frac{x}{2} + \frac{1}{6} \le \frac{2}{3} - x $.
Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 6, 3), то есть на 6.
$ 6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{1}{6}) \le 6 \cdot (\frac{2}{3} - x) $
$ 3x + 1 \le 4 - 6x $
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую.
$ 3x + 6x \le 4 - 1 $
$ 9x \le 3 $
Разделим обе части на 9.
$ x \le \frac{3}{9} $
$ x \le \frac{1}{3} $

Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{1}{3}] $.

в)

Дано неравенство: $ -\frac{x}{4} - 3 < \frac{x}{8} - 1 $.
Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (4 и 8), то есть на 8.
$ 8 \cdot (-\frac{x}{4} - 3) < 8 \cdot (\frac{x}{8} - 1) $
$ -2x - 24 < x - 8 $
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую.
$ -2x - x < -8 + 24 $
$ -3x < 16 $
Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$ x > -\frac{16}{3} $
$ x > -5\frac{1}{3} $

Ответ: $ x \in (-\frac{16}{3}; +\infty) $.

г)

Дано неравенство: $ 1 - x < \frac{x}{2} + 1 $.
Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби.
$ 2 \cdot (1 - x) < 2 \cdot (\frac{x}{2} + 1) $
$ 2 - 2x < x + 2 $
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую.
$ -2x - x < 2 - 2 $
$ -3x < 0 $
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный.
$ x > 0 $

Ответ: $ x \in (0; +\infty) $.