Номер 6.26, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.2. Решение линейных неравенств. Глава 6. Неравенства - номер 6.26, страница 258.

Условие.

6.26 Объясните, почему неравенство не имеет решения или почему его решением является любое число:

а) $x > x - 5;$

б) $x < x + 1;$

в) $3x + 2 > 3x - 1;$

г) $(x + 1)^2 < 0;$

д) $x^2 + 1 > 0;$

е) $|x| + 2 < 0.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $x > x - 5$

Данное неравенство утверждает, что число $x$ больше, чем это же число, уменьшенное на 5. Это утверждение интуитивно верно для любого числа. Например, если $x=10$, то $10 > 10 - 5$, что равносильно $10 > 5$ (верно). Если $x=-2$, то $-2 > -2 - 5$, что равносильно $-2 > -7$ (верно).

Чтобы доказать это алгебраически, перенесем $x$ из правой части в левую (или, что то же самое, вычтем $x$ из обеих частей неравенства):

$x - x > -5$

$0 > -5$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом значении $x$.

Ответ: решением является любое число.

б) $x < x + 1$

Это неравенство утверждает, что любое число $x$ меньше, чем это же число, увеличенное на 1. Это утверждение также всегда верно. Например, $5 < 5+1$ (т.е. $5 < 6$) или $-10 < -10+1$ (т.е. $-10 < -9$).

Алгебраически, вычтем $x$ из обеих частей неравенства:

$x - x < 1$

$0 < 1$

Полученное верное числовое неравенство не зависит от $x$, следовательно, исходное неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: решением является любое число.

в) $3x + 2 > 3x - 1$

Упростим данное неравенство, сгруппировав члены с $x$ и константы. Вычтем $3x$ из обеих частей:

$3x - 3x + 2 > -1$

$2 > -1$

Мы снова получили верное числовое неравенство. Так как в результате преобразований переменная $x$ сократилась, а оставшееся неравенство является истинным, то исходное неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: решением является любое число.

г) $(x + 1)^2 < 0$

Выражение в левой части, $(x + 1)^2$, представляет собой квадрат действительного числа $(x+1)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.

$(x + 1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Неравенство же требует, чтобы это неотрицательное значение было строго меньше нуля. Это невозможно. Не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным.

Ответ: неравенство не имеет решений.

д) $x^2 + 1 > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Слагаемое $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Когда мы к неотрицательному числу ($x^2$) прибавляем положительное число (1), результат всегда будет положительным. Минимальное значение выражения $x^2$ равно 0 (при $x=0$). В этом случае левая часть неравенства равна $0^2 + 1 = 1$. Так как $1 > 0$, и для всех остальных $x$ значение $x^2$ будет больше нуля, то и $x^2+1$ будет больше единицы.

Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда строго больше нуля при любом значении $x$.

Ответ: решением является любое число.

е) $|x| + 2 < 0$

В левой части неравенства стоит выражение $|x| + 2$. Модуль любого действительного числа $|x|$ по определению неотрицателен: $|x| \ge 0$.

Если к неотрицательному числу $|x|$ прибавить 2, то результат будет не меньше 2:

$|x| + 2 \ge 0 + 2$

$|x| + 2 \ge 2$

Неравенство требует, чтобы это выражение было меньше нуля. Но величина, которая всегда больше или равна 2, не может быть меньше нуля. Таким образом, не существует такого значения $x$, при котором данное неравенство было бы верным.

Ответ: неравенство не имеет решений.