Номер 1, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Решение квадратных неравенств.

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$, $c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Существует несколько методов решения таких неравенств.

а) Алгоритм решения с использованием графика квадратичной функции

Этот метод основан на том, как расположен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (парабола) относительно оси абсцисс (оси Ox).

1. Определить направление ветвей параболы по знаку старшего коэффициента $a$:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти корни ($x_1$ и $x_2$) являются точками пересечения параболы с осью Ox. 3. Схематически изобразить параболу в координатной плоскости, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью Ox. 4. Определить по графику, на каких промежутках оси Ox функция принимает положительные (график выше оси) или отрицательные (график ниже оси) значения. 5. Записать ответ, учитывая знак неравенства (строгое или нестрогое).

Пример: Решить неравенство $x^2 - x - 6 > 0$.

1. Рассматриваем функцию $y = x^2 - x - 6$. 2. Старший коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. 3. Находим нули функции, решив уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$. 4. Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках -2 и 3. 5. Из схематического графика видно, что функция $y$ положительна ($y>0$) на промежутках, где парабола находится выше оси Ox. Это происходит левее точки -2 и правее точки 3. 6. Так как неравенство строгое ($>$), сами точки -2 и 3 в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

б) Метод интервалов

Это универсальный алгебраический метод, который подходит для многих типов неравенств.

1. Привести неравенство к виду $f(x) > 0$ (или $<, \ge, \le$). 2. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$. 3. Отметить найденные нули на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на несколько интервалов. 4. Определить знак функции $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку из каждого интервала и подставить ее значение в функцию. 5. Выбрать интервалы, знаки в которых соответствуют знаку исходного неравенства. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то нули функции включаются в ответ.

Пример: Решить неравенство $-x^2 + 2x + 3 \ge 0$.

1. Для удобства вычислений умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 3 \le 0$. 2. Находим нули функции $y = x^2 - 2x - 3$, решая уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. 3. Отмечаем точки -1 и 3 на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут "закрашенными". Прямая разбивается на три интервала: $(-\infty; -1]$, $[-1; 3]$ и $[3; +\infty)$. 4. Определяем знак выражения $x^2 - 2x - 3$ на каждом интервале:

• Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2 \implies (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$. Ставим знак "+".
• Интервал $(-1; 3)$: возьмем $x = 0 \implies 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0$. Ставим знак "-".
• Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x = 4 \implies 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$. Ставим знак "+".

5. Нам нужно решить неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$, то есть выбрать промежуток со знаком "минус". Это промежуток от -1 до 3.

Ответ: $x \in [-1; 3]$.

в) Особые случаи (дискриминант $D \le 0$)

Когда у квадратного уравнения нет двух различных действительных корней, решение неравенства имеет свои особенности.

Случай 1: Дискриминант равен нулю ($D = 0$).

Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один корень $x_0$. Парабола касается оси Ox в своей вершине. Выражение $ax^2 + bx + c$ можно представить как $a(x-x_0)^2$.

• Если $a > 0$, то выражение $a(x-x_0)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = x_0$ и положительно при всех остальных $x$.
• Если $a < 0$, то выражение $a(x-x_0)^2$ всегда неположительно.

Пример: Решить $9x^2 - 6x + 1 > 0$. 1. Уравнение $9x^2 - 6x + 1 = 0$ можно записать как $(3x - 1)^2 = 0$. Корень один: $x_0 = \frac{1}{3}$. 2. Неравенство принимает вид $(3x - 1)^2 > 0$. 3. Квадрат любого выражения, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(3x-1)^2$ равно нулю только при $x = \frac{1}{3}$. 4. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Случай 2: Дискриминант отрицателен ($D < 0$).

Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и целиком лежит либо выше, либо ниже нее.

• Если $a > 0$, парабола находится полностью выше оси Ox, и выражение $ax^2 + bx + c$ всегда положительно.
• Если $a < 0$, парабола находится полностью ниже оси Ox, и выражение $ax^2 + bx + c$ всегда отрицательно.

Пример: Решить $x^2 + 2x + 3 < 0$. 1. Находим дискриминант уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. 2. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. 3. Старший коэффициент $a = 1 > 0$. 4. Это означает, что парабола $y = x^2 + 2x + 3$ целиком лежит выше оси Ox, и значение выражения $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно. 5. Неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$ требует, чтобы положительное выражение было меньше нуля, что невозможно.

Ответ: $x \in \varnothing$ (решений нет).