Номер 2, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Сформулируйте правило умножения для двух испытаний.

Правило умножения в теории вероятностей используется для нахождения вероятности совместного наступления (пересечения) двух событий. Формулировка правила зависит от того, являются ли эти события (испытания) зависимыми или независимыми.

Правило умножения для независимых испытаний

Два испытания (события) $A$ и $B$ называются независимыми, если исход одного из них не влияет на вероятность исхода другого. Например, два последовательных броска монеты являются независимыми испытаниями: результат первого броска никак не изменяет вероятность выпадения орла или решки во втором броске.

Формулировка: Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Это означает, что для нахождения вероятности того, что произойдут и событие $A$, и событие $B$, нужно перемножить их индивидуальные вероятности.

Пример: Какова вероятность, что при двух бросках игральной кости оба раза выпадет 6? Вероятность выпадения 6 в первом броске $P(A) = 1/6$. Вероятность выпадения 6 во втором броске $P(B) = 1/6$. Так как броски независимы, вероятность того, что оба события произойдут, равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Правило умножения для зависимых испытаний (Общая форма)

Два испытания (события) $A$ и $B$ называются зависимыми, если исход одного из них влияет на вероятность исхода другого. Для описания этой зависимости используется понятие условной вероятности.

Условная вероятность $P(B|A)$ – это вероятность наступления события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло.

Формулировка: Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Эта формула является общей и работает для любых двух событий, как зависимых, так и независимых. Если события $A$ и $B$ независимы, то $P(B|A) = P(B)$, и общая формула превращается в формулу для независимых событий.

Пример: В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара без возвращения. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?
Пусть $A$ – событие "первый шар белый", $B$ – событие "второй шар белый".
Вероятность вытащить первый белый шар: $P(A) = 5/8$.
После того как вытащили один белый шар, в урне осталось 7 шаров, из них 4 белых. Таким образом, условная вероятность вытащить второй белый шар при условии, что первый был белым: $P(B|A) = 4/7$.
Вероятность того, что оба шара белые, равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$