Номер 1, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Имеется четыре фрукта: яблоко, груша, апельсин, мандарин. Все их надо раздать Пете и Паше так, чтобы каждому мальчику что-то досталось. Сколько имеется способов раздачи, при которых:

а) у Пети только один фрукт;

б) у Пети ровно два фрукта;

в) у Паши есть мандарин;

г) у Паши нет яблока?

В каждом из вопросов а) — г) выпишите все нужные способы.

В задаче даны четыре различных фрукта: Яблоко (Я), Груша (Г), Апельсин (А), Мандарин (М). Их нужно раздать двум мальчикам, Пете и Паше, так, чтобы у каждого был хотя бы один фрукт.

Всего существует $2^4 = 16$ способов раздать 4 разных фрукта двум людям. Однако, по условию, у каждого мальчика должен быть хотя бы один фрукт. Это значит, что мы должны исключить два случая:

• Все 4 фрукта достались Пете (Паша не получил ничего).
• Все 4 фрукта достались Паше (Петя не получил ничего).

Таким образом, общее число подходящих способов раздачи равно $16 - 2 = 14$.

а) у Пети только один фрукт;

Если у Пети ровно один фрукт, то у Паши будут остальные три. Условие, что у каждого есть хотя бы один фрукт, выполняется автоматически. Нам нужно выбрать один фрукт из четырех для Пети. Это можно сделать $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$ способами.

Перечислим эти способы (в скобках указаны фрукты, которые получил каждый мальчик):

1. Петя: {Яблоко}, Паша: {Груша, Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Груша}, Паша: {Яблоко, Апельсин, Мандарин}
3. Петя: {Апельсин}, Паша: {Яблоко, Груша, Мандарин}
4. Петя: {Мандарин}, Паша: {Яблоко, Груша, Апельсин}

Ответ: 4 способа.

б) у Пети ровно два фрукта;

Если у Пети ровно два фрукта, то у Паши будут остальные два. Условие, что у каждого есть хотя бы один фрукт, также выполняется. Нам нужно выбрать два фрукта из четырех для Пети. Число таких сочетаний равно $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.

Перечислим эти способы:

1. Петя: {Яблоко, Груша}, Паша: {Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Яблоко, Апельсин}, Паша: {Груша, Мандарин}
3. Петя: {Яблоко, Мандарин}, Паша: {Груша, Апельсин}
4. Петя: {Груша, Апельсин}, Паша: {Яблоко, Мандарин}
5. Петя: {Груша, Мандарин}, Паша: {Яблоко, Апельсин}
6. Петя: {Апельсин, Мандарин}, Паша: {Яблоко, Груша}

Ответ: 6 способов.

в) у Паши есть мандарин;

Мандарин гарантированно отдаем Паше. Остаются три фрукта (Яблоко, Груша, Апельсин), каждый из которых можно отдать либо Пете, либо Паше. Это дает $2^3 = 8$ вариантов распределения оставшихся фруктов.

Поскольку Паша уже получил мандарин, у него точно есть фрукт. Нам нужно лишь исключить случай, когда Петя не получает ничего. Такой случай один: когда все три оставшихся фрукта (Я, Г, А) также достаются Паше.

Значит, количество подходящих способов равно $8 - 1 = 7$.

Перечислим эти способы:

1. Петя: {Яблоко}, Паша: {Груша, Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Груша}, Паша: {Яблоко, Апельсин, Мандарин}
3. Петя: {Апельсин}, Паша: {Яблоко, Груша, Мандарин}
4. Петя: {Яблоко, Груша}, Паша: {Апельсин, Мандарин}
5. Петя: {Яблоко, Апельсин}, Паша: {Груша, Мандарин}
6. Петя: {Груша, Апельсин}, Паша: {Яблоко, Мандарин}
7. Петя: {Яблоко, Груша, Апельсин}, Паша: {Мандарин}

Ответ: 7 способов.

г) у Паши нет яблока?

Если у Паши нет яблока, значит, яблоко гарантированно достается Пете. Остаются три фрукта (Груша, Апельсин, Мандарин), и каждый из них можно отдать либо Пете, либо Паше. Это дает $2^3 = 8$ вариантов.

Поскольку Петя уже получил яблоко, у него точно есть фрукт. Нам нужно исключить случай, когда Паша не получает ничего. Такой случай один: когда все три оставшихся фрукта (Г, А, М) также достаются Пете.

Следовательно, количество подходящих способов равно $8 - 1 = 7$.

Перечислим эти способы:

1. Петя: {Яблоко, Груша}, Паша: {Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Яблоко, Апельсин}, Паша: {Груша, Мандарин}
3. Петя: {Яблоко, Мандарин}, Паша: {Груша, Апельсин}
4. Петя: {Яблоко, Груша, Апельсин}, Паша: {Мандарин}
5. Петя: {Яблоко, Груша, Мандарин}, Паша: {Апельсин}
6. Петя: {Яблоко, Апельсин, Мандарин}, Паша: {Груша}
7. Петя: {Яблоко}, Паша: {Груша, Апельсин, Мандарин}

Ответ: 7 способов.