Номер 732, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 732, страница 158.

Условие 2023.

732. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу – 6 см. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим высоту, проведенную к гипотенузе, как $h$, а проекции катетов на гипотенузу — как $p_1$ и $p_2$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:
Высота $h = 8$ см.
Проекция одного из катетов $p_1 = 6$ см.

В прямоугольном треугольнике существует метрическое соотношение, связывающее высоту, проведенную к гипотенузе, и проекции катетов на гипотенузу. Квадрат высоты равен произведению проекций катетов:
$h^2 = p_1 \cdot p_2$

Используя эту формулу, мы можем найти длину второй проекции $p_2$:
$8^2 = 6 \cdot p_2$
$64 = 6 \cdot p_2$
$p_2 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин проекций катетов на нее:
$c = p_1 + p_2$
$c = 6 + \frac{32}{3} = \frac{18}{3} + \frac{32}{3} = \frac{50}{3}$ см.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле половины произведения его основания на высоту. В нашем случае за основание можно принять гипотенузу $c$, а за высоту — проведенную к ней высоту $h$:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Подставим известные и вычисленные значения в формулу для площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{50}{3} \cdot 8 = \frac{50 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}$ см$^2$.

Результат можно представить в виде смешанной дроби: $66 \frac{2}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{200}{3}$ см$^2$.

Условие 2015-2022.

732. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).