Номер 734, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 734, страница 158.

Условие 2023.

734. Высота $AM$ треугольника $ABC$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 10\sqrt{2}$ см, $AC = 26$ см, $\angle B = 45^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию, $AM$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Следовательно, $AM \perp BC$, и треугольник $AMB$ является прямоугольным с прямым углом $M$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$. Нам известна длина гипотенузы $AB = 10\sqrt{2}$ см и величина угла $\angle B = 45^\circ$.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\angle BAM = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы при основании $AB$ равны ($\angle B = \angle BAM = 45^\circ$), треугольник $AMB$ является равнобедренным, а значит его катеты равны: $AM = BM$.

Найдем длину катета $AM$ (высоты треугольника $ABC$) через синус угла $B$:

$AM = AB \cdot \sin(\angle B) = 10\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot 2}{2} = 10$ см.

Так как $AM = BM$, то длина отрезка $BM$ также равна 10 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ с прямым углом $M$. Нам известна гипотенуза $AC = 26$ см и катет $AM = 10$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $MC$:

$AC^2 = AM^2 + MC^2$

$MC^2 = AC^2 - AM^2$

$MC^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$

$MC = \sqrt{576} = 24$ см.

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$:

$BC = BM + MC = 10 + 24 = 34$ см.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле половины произведения основания на высоту:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 10 = 17 \cdot 10 = 170$ см².

Ответ: $170$ см².

Условие 2015-2022.

734. Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите площадь треугольника ABC, если $AB = 10\sqrt{2}$ см, $AC = 26$ см, $\angle B = 45^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).