Номер 736, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 736, страница 158.

Условие 2023.

736. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $h$, а угол при вершине равен $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник, обозначим его $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB=BC$ — боковые стороны. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$.

По условию задачи нам дано:

• Высота $BH = h$
• Угол при вершине $\angle ABC = \beta$

Нужно найти площадь треугольника $S_{ABC}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что:

1. Высота $BH$ делит основание $AC$ пополам, то есть $AH = HC$. Следовательно, $AC = 2 \cdot AH$.
2. Высота $BH$ делит угол при вершине $\beta$ пополам, то есть $\angle ABH = \angle CBH = \frac{\beta}{2}$.

Высота $BH$ делит равнобедренный треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Рассмотрим один из них, например, $\triangle ABH$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (с прямым углом $\angle AHB = 90^\circ$):

• Катет $BH = h$ (прилежащий к углу $\angle ABH$)
• Угол $\angle ABH = \frac{\beta}{2}$
• Катет $AH$ (противолежащий углу $\angle ABH$)

Мы можем найти длину катета $AH$ через тангенс угла $\angle ABH$: $\text{tg}(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AH}{BH}$

Подставим известные значения: $\text{tg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{AH}{h}$

Отсюда выразим $AH$: $AH = h \cdot \text{tg}(\frac{\beta}{2})$

Теперь мы можем найти длину всего основания $AC$: $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot h \cdot \text{tg}(\frac{\beta}{2})$

Наконец, подставим найденную длину основания $AC$ и высоту $h$ в формулу площади треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2h \cdot \text{tg}(\frac{\beta}{2})) \cdot h = h^2 \cdot \text{tg}(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $S = h^2 \cdot \text{tg}(\frac{\beta}{2})$

Условие 2015-2022.

736. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $h$, а угол при вершине равен $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).