Номер 743, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 743, страница 159.

Условие 2023.

743. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине их произведения.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали которого AC и BD перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой O. Таким образом, по условию $AC \perp BD$.

Площадь четырехугольника ABCD можно найти как сумму площадей четырех треугольников, на которые его разбивают диагонали: $\Delta AOB$, $\Delta BOC$, $\Delta COD$ и $\Delta DOA$. $S_{ABCD} = S_{\Delta AOB} + S_{\Delta BOC} + S_{\Delta COD} + S_{\Delta DOA}$.

Так как диагонали перпендикулярны, все четыре треугольника являются прямоугольными. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В данном случае отрезки диагоналей являются катетами этих треугольников.
$S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO$
$S_{\Delta BOC} = \frac{1}{2} OC \cdot BO$
$S_{\Delta COD} = \frac{1}{2} OC \cdot DO$
$S_{\Delta DOA} = \frac{1}{2} AO \cdot DO$

Сложим площади всех треугольников: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO + \frac{1}{2} OC \cdot BO + \frac{1}{2} OC \cdot DO + \frac{1}{2} AO \cdot DO$

Вынесем за скобки общие множители. Сначала $\frac{1}{2}$, а затем сгруппируем слагаемые: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AO \cdot BO + OC \cdot BO + OC \cdot DO + AO \cdot DO)$
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (BO(AO + OC) + DO(OC + AO))$

Вынесем общий множитель $(AO + OC)$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AO + OC)(BO + DO)$

Заметим, что суммы отрезков в скобках равны длинам диагоналей четырехугольника: $AO + OC = AC$
$BO + DO = BD$

Подставив это в нашу формулу для площади, получаем: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$

Таким образом, доказано, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения длин его диагоналей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если $d_1$ и $d_2$ — длины перпендикулярных диагоналей выпуклого четырехугольника, то его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Условие 2015-2022.

743. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине их произведения.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).