Номер 747, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 747, страница 159.

Условие 2023.

747. Даны прямая $l$ и параллельный ей отрезок $AB$. Докажите, что все треугольники $AXB$, где $X$ — произвольная точка прямой $l$, равновелики.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что все треугольники $AXB$ равновелики, то есть имеют равные площади, воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Рассмотрим любой треугольник $AXB$, где $X$ — произвольная точка на прямой $l$. В качестве основания для всех таких треугольников выберем отрезок $AB$. Поскольку отрезок $AB$ задан, его длина является постоянной величиной.

Высотой треугольника $AXB$, проведенной к основанию $AB$, является длина перпендикуляра, опущенного из вершины $X$ на прямую, содержащую отрезок $AB$.

По условию задачи прямая $l$ параллельна отрезку $AB$. Это означает, что прямая $l$, на которой лежат все возможные вершины $X$, параллельна прямой, содержащей основание $AB$.

Расстояние между двумя параллельными прямыми является постоянной величиной. Следовательно, длина перпендикуляра (высоты), опущенного из любой точки $X$ на прямой $l$ к прямой, содержащей $AB$, будет одинаковой для всех треугольников.

Таким образом, все треугольники $AXB$, образованные при выборе любой точки $X$ на прямой $l$, имеют общее основание $AB$ и равные высоты $h$, проведенные к этому основанию.

Так как площадь каждого треугольника вычисляется по формуле $S_{AXB} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$, а величины $|AB|$ и $h$ постоянны, то и площадь всех этих треугольников будет одинаковой. Это доказывает, что они равновелики.

Ответ: Все треугольники $AXB$ равновелики, так как у них общее основание $AB$ и равные высоты, проведенные к этому основанию. Высоты равны, потому что расстояние между параллельными прямыми (прямой $l$ и прямой, содержащей отрезок $AB$) постоянно, а все вершины $X$ лежат на прямой $l$.

Условие 2015-2022.

747. Даны прямая $l$ и параллельный ей отрезок $AB$. Докажите, что все треугольники $AXB$, где $X$ – произвольная точка прямой $l$, равновелики.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).