Номер 754, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 754, страница 159.

Условие 2023.

754. Через вершину ромба проведите две прямые так, чтобы они разбили данный ромб на три равновеликих многоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб $ABCD$ с вершинами, идущими последовательно, и площадью $S$. Требуется провести две прямые через одну из вершин, например, через вершину $A$, так, чтобы они разделили ромб на три равновеликие части. Это означает, что площадь каждой из трех получившихся фигур должна быть равна $S/3$.

Две прямые, выходящие из вершины $A$, будут пересекать стороны ромба, не содержащие эту вершину, то есть стороны $BC$ и $CD$. Пусть первая прямая пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а вторая — сторону $CD$ в точке $N$. В результате ромб $ABCD$ разделяется на три многоугольника: треугольник $ABM$, треугольник $ADN$ и четырехугольник $AMCN$.

Для решения задачи необходимо, чтобы площади треугольников $ABM$ и $ADN$ были равны $S/3$.

Пусть сторона ромба равна $a$, а угол при вершине $A$ равен $\alpha$. Тогда $AB=a$, а угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \alpha$. Площадь всего ромба вычисляется по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Площадь треугольника $ABM$ равна $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin(\angle B)$. Подставим известные величины:$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot BM \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} a \cdot BM \cdot \sin(\alpha)$.

Приравняем эту площадь к $S/3$:$\frac{1}{2} a \cdot BM \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{3} S = \frac{1}{3} a^2 \sin(\alpha)$.

Сокращая выражение, находим длину отрезка $BM$:$BM = \frac{2}{3} a$.Поскольку $a$ — это длина стороны $BC$, точка $M$ лежит на стороне $BC$.

Аналогичные рассуждения проведем для треугольника $ADN$. Углы $\angle B$ и $\angle D$ в ромбе равны. Площадь треугольника $ADN$ составляет $S_{ADN} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DN \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{2} a \cdot DN \cdot \sin(\alpha)$.

Приравнивая $S_{ADN}$ к $S/3$, получаем:$\frac{1}{2} a \cdot DN \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{3} a^2 \sin(\alpha)$.

Отсюда находим длину отрезка $DN$:$DN = \frac{2}{3} a$.Поскольку $a$ — это длина стороны $CD$, точка $N$ лежит на стороне $CD$.

Таким образом, мы определили положение точек $M$ и $N$. Две прямые $AM$ и $AN$ отсекают от ромба два треугольника, площадь каждого из которых равна $S/3$. Площадь оставшегося четырехугольника $AMCN$ будет равна:$S_{AMCN} = S - S_{ABM} - S_{ADN} = S - \frac{S}{3} - \frac{S}{3} = \frac{S}{3}$.

Следовательно, прямые $AM$ и $AN$ делят ромб на три равновеликих многоугольника, что и требовалось в задаче.

Ответ: Чтобы разделить ромб $ABCD$ на три равновеликих многоугольника, следует из одной его вершины, например $A$, провести два отрезка $AM$ и $AN$, где точка $M$ лежит на стороне $BC$, а точка $N$ — на стороне $CD$. Положение точек $M$ и $N$ определяется условиями $BM = \frac{2}{3}BC$ и $DN = \frac{2}{3}CD$.

Условие 2015-2022.

754. Через вершину ромба проведите две прямые так, чтобы они разбили данный ромб на три равновеликих многоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).