Номер 756, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 756, страница 159.

Условие 2023.

756. В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Пусть $h_a$, $h_b$ и $h_c$ — высоты, проведенные к сторонам $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Применительно к нашему треугольнику, мы можем записать три выражения для площади:
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$
$S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$
$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Поскольку площадь треугольника едина, мы можем приравнять эти выражения:
$\frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Умножим все части этого равенства на 2, чтобы избавиться от дроби:
$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$

Это означает, что произведение длины стороны на длину проведенной к ней высоты является для данного треугольника постоянной величиной, равной удвоенной площади ($2S$).

Теперь докажем утверждение задачи. Пусть, без ограничения общности, сторона $a$ является наибольшей в треугольнике. Это значит, что $a \ge b$ и $a \ge c$. Нам нужно доказать, что высота $h_a$, проведенная к стороне $a$, является наименьшей, то есть $h_a \le h_b$ и $h_a \le h_c$.

Сравним высоты $h_a$ и $h_b$. Возьмем равенство:
$a \cdot h_a = b \cdot h_b$
Выразим из него отношение $\frac{h_a}{h_b}$:
$\frac{h_a}{h_b} = \frac{b}{a}$
Так как по нашему предположению $a \ge b$ (и обе стороны имеют положительную длину), то дробь $\frac{b}{a} \le 1$.
Следовательно, $\frac{h_a}{h_b} \le 1$, откуда, умножив на $h_b$ (которое положительно), получаем $h_a \le h_b$.

Аналогично сравним высоты $h_a$ и $h_c$. Возьмем равенство:
$a \cdot h_a = c \cdot h_c$
Выразим отношение $\frac{h_a}{h_c}$:
$\frac{h_a}{h_c} = \frac{c}{a}$
Так как по предположению $a \ge c$, то дробь $\frac{c}{a} \le 1$.
Следовательно, $\frac{h_a}{h_c} \le 1$, откуда $h_a \le h_c$.

Мы показали, что если $a$ — наибольшая сторона, то высота $h_a$ меньше или равна любой другой высоте. Таким образом, к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ следует, что произведение стороны на соответствующую ей высоту есть величина постоянная ($a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c = 2S$). Следовательно, чем больше сторона, тем меньше проведенная к ней высота, чтобы их произведение оставалось неизменным. Значит, к наибольшей стороне проведена наименьшая высота.

Условие 2015-2022.

756. В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).