Номер 757, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 757, страница 159.

Условие 2023.

757. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $\frac{AM}{MC} = \frac{m}{n}$. Пусть $X$ – произвольная внутренняя точка отрезка $BM$. Докажите, что $\frac{S_{ABX}}{S_{CBX}} = \frac{m}{n}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CBM$. У них общая вершина $B$, а их основания $AM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$. Проведем из вершины $B$ высоту $h_B$ к прямой $AC$. Эта высота будет общей для обоих треугольников. Отношение их площадей будет равно отношению их оснований:
$ \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h_B}{\frac{1}{2} \cdot MC \cdot h_B} = \frac{AM}{MC} $

Аналогично, рассмотрим треугольники $AXM$ и $CXM$. У них общая вершина $X$, а их основания $AM$ и $MC$ также лежат на прямой $AC$. Проведя высоту $h_X$ из вершины $X$ к прямой $AC$, получим, что отношение их площадей также равно отношению их оснований:
$ \frac{S_{AXM}}{S_{CXM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h_X}{\frac{1}{2} \cdot MC \cdot h_X} = \frac{AM}{MC} $

По условию задачи известно, что $ \frac{AM}{MC} = \frac{m}{n} $. Следовательно, мы имеем два равенства:
1) $ \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{m}{n} $, откуда $ S_{ABM} = \frac{m}{n} S_{CBM} $.
2) $ \frac{S_{AXM}}{S_{CXM}} = \frac{m}{n} $, откуда $ S_{AXM} = \frac{m}{n} S_{CXM} $.

Поскольку точка $X$ является внутренней точкой отрезка $BM$, площадь треугольника $ABX$ можно выразить как разность площадей $S_{ABM}$ и $S_{AXM}$. Аналогично, площадь треугольника $CBX$ равна разности площадей $S_{CBM}$ и $S_{CXM}$:
$ S_{ABX} = S_{ABM} - S_{AXM} $
$ S_{CBX} = S_{CBM} - S_{CXM} $

Подставим в выражение для $S_{ABX}$ найденные ранее соотношения:
$ S_{ABX} = S_{ABM} - S_{AXM} = \frac{m}{n} S_{CBM} - \frac{m}{n} S_{CXM} = \frac{m}{n} (S_{CBM} - S_{CXM}) $

Заметив, что выражение в скобках равно $S_{CBX}$, получаем:
$ S_{ABX} = \frac{m}{n} S_{CBX} $

Разделив обе части равенства на $S_{CBX}$, получим искомое соотношение, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{S_{ABX}}{S_{CBX}} = \frac{m}{n} $.

Условие 2015-2022.

757. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $\frac{AM}{MC} = \frac{m}{n}$. Пусть $X$ – произвольная внутренняя точка отрезка $BM$. Докажите, что $\frac{S_{ABX}}{S_{CBX}} = \frac{m}{n}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).