Номер 760, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 760, страница 160.

Условие 2023.

760. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC = b$ и $BC = a$, а длину гипотенузы $AB = c$.

По условию, биссектриса одного из острых углов делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см. Рассмотрим случай, когда биссектриса $AD$ проведена из острого угла $A$ к катету $BC$. Точка $D$ лежит на катете $BC$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. В нашем случае:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{DB}$

Подставив обозначения сторон, получим:

$\frac{b}{c} = \frac{CD}{DB}$

В любом прямоугольном треугольнике катет короче гипотенузы, то есть $b < c$. Следовательно, отношение $\frac{b}{c}$ должно быть меньше единицы. Это означает, что отрезок $CD$, прилежащий к прямому углу, должен быть короче отрезка $DB$. Таким образом, мы однозначно определяем, что $CD = 21$ см и $DB = 35$ см.

Длина катета $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = BC = CD + DB = 21 + 35 = 56$ см.

Теперь используем отношение из свойства биссектрисы:

$\frac{b}{c} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$

Отсюда можно выразить $b$ через $c$: $b = \frac{3}{5}c$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известные нам значения:

$56^2 + (\frac{3}{5}c)^2 = c^2$

$3136 + \frac{9}{25}c^2 = c^2$

Вычтем $\frac{9}{25}c^2$ из обеих частей уравнения:

$3136 = c^2 - \frac{9}{25}c^2$

$3136 = \frac{16}{25}c^2$

Теперь найдем $c^2$ и $c$:

$c^2 = \frac{3136 \cdot 25}{16} = 196 \cdot 25 = 4900$

$c = \sqrt{4900} = 70$ см.

Зная гипотенузу, найдем длину второго катета $b$:

$b = \frac{3}{5}c = \frac{3}{5} \cdot 70 = 3 \cdot 14 = 42$ см.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольного треугольника по формуле $S = \frac{1}{2}ab$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot 42 = 28 \cdot 42 = 1176$ см$^2$.

Если бы биссектриса была проведена из другого острого угла ($B$), то катеты поменялись бы местами ($a = 42$ см, $b = 56$ см), но их произведение, а значит и площадь треугольника, осталось бы прежним.

Ответ: 1176 см$^2$.

Условие 2015-2022.

760. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).