Номер 766, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 766, страница 160.

Условие 2023.

766. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. Проведите через эту точку прямую так, чтобы она разбила данный треугольник на два равновеликих многоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи необходимо выполнить геометрическое построение и доказать, что построенная прямая действительно делит треугольник на две равновеликие части. В основе решения лежит свойство медианы делить площадь треугольника пополам.

Построение

1. Находим точку M — середину стороны AC.

2. Соединяем данную точку D с вершиной B отрезком DB.

3. Через точку M проводим прямую, параллельную отрезку DB.

4. Эта прямая пересекает одну из двух других сторон треугольника (AB или BC) в точке K.

5. Проводим прямую через точки D и K. Эта прямая DK и будет искомой.

Доказательство

Пусть S — площадь треугольника ABC. Проведем медиану BM. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть на два треугольника с равными площадями. Следовательно, площади треугольников ABM и CBM равны:

$S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{S}{2}$

Далее рассмотрим два возможных случая расположения точки D относительно середины M стороны AC.

Случай 1: Точка D лежит между точками A и M.

В этом случае построенная по алгоритму прямая, проходящая через M параллельно DB, пересечет сторону BC в точке K. Искомая прямая DK отсекает от исходного треугольника треугольник DCK. Докажем, что площадь $\triangle DCK$ равна $S/2$.

По построению $MK \parallel DB$. Рассмотрим угол C. Прямые MK и DB параллельны, их пересекают прямые CA и CB. По обобщенной теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle CMK$ и $\triangle CDB$ по двум углам) имеем пропорцию:

$\frac{CM}{CD} = \frac{CK}{CB}$

Из этой пропорции следует равенство произведений: $CM \cdot CB = CD \cdot CK$.

Теперь вычислим площадь треугольника DCK. Она равна:

$S_{DCK} = \frac{1}{2} CD \cdot CK \cdot \sin(\angle C)$

Площадь треугольника CBM, которая, как мы знаем, равна $S/2$, вычисляется как:

$S_{CBM} = \frac{1}{2} CM \cdot CB \cdot \sin(\angle C)$

Так как $CD \cdot CK = CM \cdot CB$, то и площади этих треугольников равны: $S_{DCK} = S_{CBM} = S/2$.

Следовательно, прямая DK делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры: $\triangle DCK$ и четырехугольник ABKD.

Случай 2: Точка D лежит между точками M и C.

В этом случае прямая, проходящая через M параллельно DB, пересечет сторону AB в точке K. Искомая прямая DK отсекает от исходного треугольника треугольник ADK. Докажем, что его площадь равна $S/2$.

По построению $MK \parallel DB$. Рассмотрим угол A. Прямые MK и DB параллельны, их пересекают прямые AC и AB. По теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle AMK$ и $\triangle ADB$) имеем пропорцию:

$\frac{AM}{AD} = \frac{AK}{AB}$

Отсюда следует равенство: $AM \cdot AB = AD \cdot AK$.

Площадь треугольника ADK равна:

$S_{ADK} = \frac{1}{2} AD \cdot AK \cdot \sin(\angle A)$

Площадь треугольника ABM, равная $S/2$, вычисляется как:

$S_{ABM} = \frac{1}{2} AM \cdot AB \cdot \sin(\angle A)$

Так как $AD \cdot AK = AM \cdot AB$, то $S_{ADK} = S_{ABM} = S/2$.

Следовательно, прямая DK делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры: $\triangle ADK$ и четырехугольник BCDK.

Если точка D совпадает с M, то искомая прямая — это медиана BM, что также соответствует построению.

Таким образом, предложенный способ построения является верным для любого расположения точки D на стороне AC.

Ответ: Чтобы провести искомую прямую, нужно найти середину M стороны AC, соединить точку D с вершиной B, а затем через точку M провести прямую, параллельную DB. Эта прямая пересечет одну из сторон AB или BC в некоторой точке K. Прямая DK будет искомой.

Условие 2015-2022.

766. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. Проведите через эту точку прямую так, чтобы она разбила данный треугольник на два равновеликих многоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).