Номер 771, страница 161 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 771, страница 161.

Условие 2023.

771. На плоскости даны $n$ точек ($n > 3$), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, который не содержит ни одной из остальных $(n-3)$ точек.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим все возможные треугольники, которые можно образовать, выбрав в качестве вершин три точки из данных $n$ точек. Поскольку число точек $n$ конечно, количество таких треугольников также конечно и равно числу сочетаний из $n$ по 3:

$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

По условию задачи никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что площадь любого такого треугольника — это строго положительная величина. Так как у нас есть конечное множество положительных чисел (площадей всех треугольников), среди них обязательно найдется наименьшее. Следовательно, существует как минимум один треугольник с минимальной площадью.

Выберем один из таких треугольников с наименьшей площадью и обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$. Докажем, что этот треугольник $\triangle ABC$ не содержит внутри себя ни одной из остальных $n-3$ точек. Мы сделаем это методом от противного.

Предположим, что наше утверждение неверно, и внутри треугольника $\triangle ABC$ существует по крайней мере одна точка $P$ из исходного набора точек. Разобьем $\triangle ABC$ на три меньших треугольника, соединив точку $P$ с его вершинами: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$ и $\triangle PCA$.

Поскольку точка $P$ находится строго внутри $\triangle ABC$, сумма площадей этих трех треугольников в точности равна площади $\triangle ABC$:

$S_{ABC} = S_{PAB} + S_{PBC} + S_{PCA}$

Так как по условию никакие три точки не коллинеарны (в том числе тройки $P,A,B$; $P,B,C$; $P,C,A$), площади всех трех меньших треугольников строго положительны. Из этого следует, что площадь каждого из них строго меньше площади $\triangle ABC$. Например, для треугольника $\triangle PAB$ имеем:

$S_{PAB} < S_{ABC}$

Но треугольник $\triangle PAB$ также является треугольником, вершины которого принадлежат исходному множеству из $n$ точек. Мы нашли треугольник ($\triangle PAB$), площадь которого меньше площади $\triangle ABC$. Это напрямую противоречит нашему первоначальному выбору $\triangle ABC$ как треугольника с минимальной возможной площадью.

Следовательно, наше предположение о существовании точки $P$ внутри $\triangle ABC$ было неверным. Это означает, что треугольник с минимальной площадью не может содержать внутри себя ни одной из остальных точек.

Таким образом, существование треугольника с вершинами в данных точках, который не содержит ни одной из остальных точек, доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник с наименьшей площадью среди всех возможных треугольников, образованных данными точками, является искомым, так как он не может содержать внутри себя других точек из данного множества.

Условие 2015-2022.

771. На плоскости даны $n$ точек $(n > 3)$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, который не содержит ни одной из остальных $(n - 3)$ точек.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).