Номер 1, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 23. Площадь трапеции. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 1, страница 162.

Условие 2023.

1. Сформулируйте теорему о площади трапеции.

Решение 6 (2023).

1. Теорема о площади трапеции формулируется следующим образом: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Пусть имеются основания трапеции $a$ и $b$, и высота $h$. Тогда площадь трапеции $S$ можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

Данную теорему можно также выразить через среднюю линию трапеции. Поскольку средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме её оснований ($m = \frac{a+b}{2}$), то площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

$$S = m \cdot h$$

Доказательство теоремы:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Проведём диагональ $BD$, которая разделяет трапецию на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Площадь трапеции будет равна сумме площадей этих двух треугольников.

$$S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$$

Проведём в трапеции высоту $h$. Эта высота будет общей для треугольника $\triangle ABD$ (если опустить её из вершины $B$ на основание $AD$) и для треугольника $\triangle BCD$ (если опустить её из вершины $D$ на прямую, содержащую основание $BC$).

1. Площадь треугольника $\triangle ABD$ равна половине произведения его основания $AD$ на высоту $h$:

$$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot h = \frac{1}{2}ah$$

2. Площадь треугольника $\triangle BCD$ равна половине произведения его основания $BC$ на высоту $h$:

$$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot h = \frac{1}{2}bh$$

3. Сложим площади этих треугольников, чтобы найти площадь трапеции:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(a+b)h = \frac{a+b}{2}h$$

Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Формула для вычисления площади: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Условие 2015-2022.

1. Сформулируйте теорему о площади трапеции.