Номер 769, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 769, страница 160.

Условие 2023.

769. В равнобокой трапеции основания равны 18 см и 12 см. Боковая сторона образует с основанием угол $30^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, большее основание AD = 18 см, меньшее основание BC = 12 см. Угол при большем основании равен 30°, например, ∠CDA = 30°. Необходимо найти длину диагонали, например, AC.

Для нахождения диагонали проведем из вершины C высоту CH на основание AD. В результате образуется прямоугольный треугольник ACH, гипотенузой которого является искомая диагональ AC. Чтобы найти AC по теореме Пифагора, нам нужно определить длины катетов AH и CH.

Сначала найдем высоту CH. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. В равнобокой трапеции отрезок, который высота отсекает от большего основания (отрезок HD), равен полуразности оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике CHD мы знаем катет HD = 3 см и прилежащий к нему острый угол ∠CDH = 30°. Высоту CH (противолежащий катет) можно найти через тангенс этого угла:

$\tan(∠CDH) = \frac{CH}{HD}$

$CH = HD \cdot \tan(30°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь, когда известна высота CH, найдем длину отрезка AH. Он является частью большего основания AD.

$AH = AD - HD = 18 - 3 = 15$ см.

Теперь у нас есть оба катета прямоугольного треугольника ACH: $AH = 15$ см и $CH = \sqrt{3}$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AC:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$AC^2 = 15^2 + (\sqrt{3})^2 = 225 + 3 = 228$

$AC = \sqrt{228} = \sqrt{4 \cdot 57} = 2\sqrt{57}$ см.

Ответ: $2\sqrt{57}$ см.

Условие 2015-2022.

769. В равнобокой трапеции основания равны 18 см и 12 см. Боковая сторона образует с основанием угол $30^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).