Номер 762, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 762, страница 160.

Условие 2023.

762. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Центр вписанной окружности, обозначим его $O$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Так как $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то точка $O$ лежит на высоте $BH$.

Точка $O$ делит высоту $BH$ на два отрезка. Расстояние от центра вписанной окружности до основания равно радиусу этой окружности. Основание $AC$ является касательной к вписанной окружности в точке $H$. Следовательно, отрезок $OH$ — это радиус вписанной окружности $r$. Центр вписанной окружности всегда расположен ближе к основанию, чем к вершине (противолежащей основанию). Поэтому, из двух отрезков, меньший по длине равен радиусу.

Таким образом, $r = OH = 16$ см, а отрезок $BO = 34$ см.

Полная длина высоты $BH$ равна сумме длин этих отрезков:
$BH = BO + OH = 34 + 16 = 50$ см.

Для вычисления площади треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$ необходимо найти длину основания $AC$. Так как $BH$ — медиана, то $H$ — середина $AC$, и $AC = 2 \cdot AH$. Найдем $AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle BHA = 90^\circ$). Проведем радиус $OK$ из центра $O$ к боковой стороне $AB$, где $K$ — точка касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OK \perp AB$. Длина радиуса $OK = r = 16$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BOK$ и $\triangle BAH$.

• $\angle OBK$ (или $\angle ABH$) — общий.
• $\angle BKO = \angle BHA = 90^\circ$.

Следовательно, треугольники $\triangle BOK$ и $\triangle BAH$ подобны по двум углам (признак AA).

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон:
$\frac{OK}{AH} = \frac{BO}{AB} = \frac{BK}{BH}$

Сначала найдем длину катета $BK$ в прямоугольном треугольнике $BOK$ по теореме Пифагора:
$BK^2 = BO^2 - OK^2$
$BK^2 = 34^2 - 16^2 = (34 - 16)(34 + 16) = 18 \cdot 50 = 900$
$BK = \sqrt{900} = 30$ см.

Теперь воспользуемся соотношением из подобия $\frac{OK}{AH} = \frac{BK}{BH}$:
$\frac{16}{AH} = \frac{30}{50}$
$\frac{16}{AH} = \frac{3}{5}$

Отсюда выразим $AH$:
$3 \cdot AH = 16 \cdot 5$
$AH = \frac{80}{3}$ см.

Теперь найдем длину основания $AC$:
$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{80}{3} = \frac{160}{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{160}{3} \cdot 50 = \frac{160 \cdot 50}{2 \cdot 3} = \frac{80 \cdot 50}{3} = \frac{4000}{3}$ см².

Площадь также можно записать в виде смешанной дроби: $1333\frac{1}{3}$ см².

Ответ: $\frac{4000}{3}$ см².

Условие 2015-2022.

762. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).