Номер 758, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 758, страница 160.

Условие 2023.

758. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Пусть вписанная окружность имеет радиус $r$. По условию, $r = 4$ см.

Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на два отрезка. Пусть длина одного отрезка равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина другого отрезка равна $x + 14$ см.

Известно свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности: их длины равны. Также для прямоугольного треугольника отрезки, на которые делят катеты точки касания, равны $r$ (от вершины прямого угла) и отрезкам гипотенузы (от вершин острых углов).

Таким образом, мы можем выразить длины катетов и гипотенузы через $x$ и $r$:
Один катет: $a = r + x = 4 + x$
Другой катет: $b = r + (x + 14) = 4 + x + 14 = x + 18$
Гипотенуза: $c = x + (x + 14) = 2x + 14$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$:
$(4 + x)^2 + (18 + x)^2 = (2x + 14)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы:
$(16 + 8x + x^2) + (324 + 36x + x^2) = 4x^2 + 56x + 196$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$2x^2 + 44x + 340 = 4x^2 + 56x + 196$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4x^2 - 2x^2 + 56x - 44x + 196 - 340 = 0$
$2x^2 + 12x - 144 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 + 6x - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324$
$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$
$x_1 = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, она не может быть отрицательной. Следовательно, мы выбираем значение $x = 6$ см.

Теперь, зная $x$, мы можем найти длины катетов:
$a = 4 + x = 4 + 6 = 10$ см.
$b = 18 + x = 18 + 6 = 24$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120$ см$^2$.

Ответ: 120 см$^2$.

Условие 2015-2022.

758. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).