Номер 752, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 752, страница 159.

Условие 2023.

752. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведите две прямые так, чтобы они разбили данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести через вершину $B$ две прямые, которые разобьют $\triangle ABC$ на три равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями).

Пусть искомые прямые пересекают сторону $AC$ в точках $D$ и $E$. Тогда $\triangle ABC$ разбивается на три треугольника: $\triangle ABD$, $\triangle BDE$ и $\triangle BCE$. По условию, их площади должны быть равны: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BDE} = S_{\triangle BCE}$.

Площадь треугольника определяется формулой $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Эта высота будет общей для всех трех малых треугольников. Их основаниями будут отрезки $AD$, $DE$ и $EC$, лежащие на прямой $AC$.

Выразим площади этих треугольников:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$

$S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot BH$

$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot BH$

Так как площади должны быть равны, получаем равенство:

$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot BH$

Сократив общие множители $\frac{1}{2}$ и $BH$ (высота $BH \neq 0$ для невырожденного треугольника), приходим к выводу, что основания этих треугольников должны быть равны:

$AD = DE = EC$

Таким образом, точки $D$ и $E$ должны делить сторону $AC$ на три равные части. Алгоритм построения следующий: разделить сторону $AC$ на три равных отрезка точками $D$ и $E$, а затем соединить эти точки с вершиной $B$. Прямые $BD$ и $BE$ будут искомыми.

Ответ: Необходимо разделить сторону $AC$ на три равных отрезка точками $D$ и $E$. Прямые $BD$ и $BE$ разделят треугольник $ABC$ на три равновеликих треугольника.

Условие 2015-2022.

752. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведите две прямые так, чтобы они разбили данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).