Номер 745, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 745, страница 159.

Условие 2023.

745. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 62 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Обозначим сторону ромба как $a$, а его диагонали как $d_1$ и $d_2$.

Согласно условию задачи: $a = 25$ см, $d_1 + d_2 = 62$ см.

Ключевым свойством ромба является то, что его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, ромб состоит из четырех одинаковых прямоугольных треугольников. В каждом таком треугольнике катетами являются половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенузой — сторона ромба ($a$).

Применим теорему Пифагора к одному из этих треугольников: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известное значение стороны $a = 25$ в это уравнение: $\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 25^2$ $\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 625$ $d_1^2 + d_2^2 = 625 \times 4 = 2500$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 1) $d_1 + d_2 = 62$ 2) $d_1^2 + d_2^2 = 2500$

Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Чтобы найти произведение $d_1 d_2$, возведем в квадрат обе части первого уравнения системы: $(d_1 + d_2)^2 = 62^2$ $d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2 = 3844$

Теперь подставим в полученное равенство значение $d_1^2 + d_2^2 = 2500$ из второго уравнения системы: $2500 + 2d_1d_2 = 3844$ $2d_1d_2 = 3844 - 2500$ $2d_1d_2 = 1344$

Из этого выражения мы можем найти произведение диагоналей: $d_1d_2 = \frac{1344}{2} = 672$

Теперь вычислим площадь ромба: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \times 672 = 336$ см².

Ответ: 336 см².

Условие 2015-2022.

745. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 62 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).