Номер 751, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 751, страница 159.

Условие 2023.

CBM

751. В треугольнике проведены три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ \triangle ABC $. Проведем в нем медианы $ AD $, $ BE $ и $ CF $, которые пересекаются в точке $ O $. Эти медианы разбивают $ \triangle ABC $ на шесть меньших треугольников: $ \triangle AOF $, $ \triangle FOB $, $ \triangle BOD $, $ \triangle DOC $, $ \triangle COE $ и $ \triangle EOA $. Требуется доказать, что площади этих шести треугольников равны (т. е. они равновелики).

Доказательство можно провести в несколько шагов.

1. Рассмотрим треугольники, имеющие общую вершину $ O $. Так как $ F $ — середина стороны $ AB $, то отрезок $ OF $ является медианой в треугольнике $ \triangle AOB $. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поскольку у них равные основания ($ AF = FB $) и общая высота, проведенная из вершины $ O $. Следовательно, площади $ \triangle AOF $ и $ \triangle FOB $ равны: $ S_{AOF} = S_{FOB} $.

Аналогично, $ OD $ — медиана в $ \triangle BOC $ (так как $ D $ — середина $ BC $), поэтому $ S_{BOD} = S_{DOC} $. И $ OE $ — медиана в $ \triangle COA $ (так как $ E $ — середина $ AC $), поэтому $ S_{COE} = S_{EOA} $. Таким образом, мы установили, что треугольники равновелики попарно.

2. Воспользуемся свойством точки пересечения медиан (центроида). Известно, что центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $ AD $ это означает, что $ AO : OD = 2 : 1 $.

3. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABO $ и $ \triangle BDO $. У них общая высота, проведенная из вершины $ B $ к прямой $ AD $. Отношение их площадей равно отношению их оснований $ AO $ и $ OD $: $ \frac{S_{ABO}}{S_{BOD}} = \frac{AO}{OD} = \frac{2}{1} $ Отсюда следует, что $ S_{ABO} = 2 \cdot S_{BOD} $.

4. Обозначим площадь $ \triangle BOD $ за $ S $. Тогда $ S_{BOD} = S $. Из пункта 1 мы знаем, что $ S_{DOC} = S_{BOD} = S $. Из пункта 3 следует, что $ S_{ABO} = 2S $. Так как $ S_{ABO} = S_{AOF} + S_{FOB} $ и $ S_{AOF} = S_{FOB} $, то каждая из этих площадей равна половине $ S_{ABO} $. $ S_{AOF} = S_{FOB} = \frac{S_{ABO}}{2} = \frac{2S}{2} = S $.

5. Аналогично, для треугольников $ \triangle ACO $ и $ \triangle CDO $ (с общей высотой из вершины $ C $ к прямой $ AD $): $ \frac{S_{ACO}}{S_{CDO}} = \frac{AO}{OD} = \frac{2}{1} $ Отсюда $ S_{ACO} = 2 \cdot S_{CDO} = 2S $. Так как $ S_{ACO} = S_{COE} + S_{EOA} $ и $ S_{COE} = S_{EOA} $, то $ S_{COE} = S_{EOA} = \frac{S_{ACO}}{2} = \frac{2S}{2} = S $.

В результате мы показали, что площади всех шести треугольников равны $ S $: $ S_{AOF} = S_{FOB} = S_{BOD} = S_{DOC} = S_{COE} = S_{EOA} = S $. Следовательно, все шесть треугольников, на которые медианы разбивают исходный треугольник, являются равновеликими, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят его на шесть равновеликих треугольников.

Условие 2015-2022.

751. В треугольнике проведены три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).