Номер 746, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 746, страница 159.

Условие 2023.

746. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей – 42 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $a$ — сторона ромба, а $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. По условию задачи: $a = 39$ см. Разность диагоналей $d_1 - d_2 = 42$ см (будем считать, что $d_1$ — большая диагональ).

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба ($a$).

Согласно теореме Пифагора, для одного из этих треугольников справедливо равенство: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Упростим это выражение: $\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$ $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставим известное значение стороны $a=39$ см: $d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 39^2 = 4 \cdot 1521 = 6084$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $d_1 - d_2 = 42$ 2) $d_1^2 + d_2^2 = 6084$

Выразим $d_1$ из первого уравнения: $d_1 = 42 + d_2$

Подставим это выражение во второе уравнение: $(42 + d_2)^2 + d_2^2 = 6084$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $42^2 + 2 \cdot 42 \cdot d_2 + d_2^2 + d_2^2 = 6084$ $1764 + 84d_2 + 2d_2^2 = 6084$ $2d_2^2 + 84d_2 + 1764 - 6084 = 0$ $2d_2^2 + 84d_2 - 4320 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $d_2^2 + 42d_2 - 2160 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2160) = 1764 + 8640 = 10404$ $\sqrt{D} = \sqrt{10404} = 102$

$d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 \pm 102}{2}$

Так как длина диагонали не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс: $d_2 = \frac{-42 + 102}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь найдем длину второй диагонали $d_1$: $d_1 = 42 + d_2 = 42 + 30 = 72$ см.

Наконец, вычислим площадь ромба: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 30 = 36 \cdot 30 = 1080$ см².

Ответ: 1080 см².

Условие 2015-2022.

746. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей – 42 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).