Номер 748, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 748, страница 159.

Условие 2023.

748. Докажите, что если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади данных треугольников относятся как их стороны, к которым проведены эти высоты.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть даны два треугольника. Обозначим площадь, сторону и высоту, проведенную к этой стороне, для первого треугольника как $S_1$, $a_1$ и $h_1$ соответственно, а для второго — $S_2$, $a_2$ и $h_2$.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Таким образом, мы можем записать формулы для площадей наших треугольников:

$S_1 = \frac{1}{2} a_1 h_1$

$S_2 = \frac{1}{2} a_2 h_2$

Согласно условию задачи, высоты треугольников равны. Обозначим эту высоту как $h$:

$h_1 = h_2 = h$

Теперь найдем отношение их площадей, подставив известные значения:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} a_1 h_1}{\frac{1}{2} a_2 h_2} = \frac{\frac{1}{2} a_1 h}{\frac{1}{2} a_2 h}$

Сократив одинаковые множители $\frac{1}{2}$ и $h$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$

Это и требовалось доказать: отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению сторон, к которым эти высоты проведены.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

748. Докажите, что если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади данных треугольников относятся как их стороны, к которым проведены эти высоты.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).