Номер 749, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 749, страница 159.

Условие 2023.

749. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник, обозначим его $ABC$. Проведем в этом треугольнике медиану из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть $M$ — точка пересечения медианы со стороной $AC$. Таким образом, $BM$ — медиана.

По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и длины отрезков $AM$ и $MC$ равны:
$AM = MC$

Медиана $BM$ разделяет треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Равновеликие треугольники — это треугольники с равными площадями. Нам необходимо доказать, что $S_{ABM} = S_{CBM}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h$ — длина высоты, опущенной на это основание.

Проведем из вершины $B$ высоту к стороне $AC$. Обозначим основание высоты как точку $H$. Таким образом, $BH$ — высота треугольника $ABC$. Эта высота $BH$ также является высотой для обоих треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, поскольку их основания ($AM$ и $MC$) лежат на одной прямой $AC$, а вершина $B$ у них общая.

Теперь вычислим площади треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$:

• Для $\triangle ABM$: основание — $AM$, высота — $BH$. Его площадь: $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$.
• Для $\triangle CBM$: основание — $MC$, высота — $BH$. Его площадь: $S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH$.

Сравним выражения для площадей. Мы знаем, что $AM = MC$, так как $BM$ — медиана. Высота $BH$ является общей для обоих треугольников. Следовательно, правые части формул для площадей равны. Отсюда следует, что и сами площади равны:
$S_{ABM} = S_{CBM}$

Это доказывает, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Медиана треугольника делит его на два треугольника ($\triangle ABM$ и $\triangle CBM$), у которых основания равны ($AM = MC$ по определению медианы) и высота, проведенная к этим основаниям из общей вершины ($B$), является общей. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2}ah$), то при равенстве оснований и высот площади этих треугольников также будут равны.

Условие 2015-2022.

749. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).