Номер 750, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 750, страница 159.

Условие 2023.

750. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка M так, что $ \frac{AM}{MC} = \frac{m}{n} $. Докажите, что $ \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{m}{n} $.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CBM$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – основание треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к прямой $AC$. Эта высота $BH$ будет общей для треугольников $ABM$ и $CBM$, так как их основания $AM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$.

Найдем площадь треугольника $ABM$. В качестве основания выберем сторону $AM$. Тогда высота, проведенная к этому основанию, будет $BH$. Площадь треугольника $ABM$ равна:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

Теперь найдем площадь треугольника $CBM$. В качестве основания выберем сторону $MC$. Высота, проведенная к этому основанию, также будет $BH$. Площадь треугольника $CBM$ равна:
$S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH$

Чтобы доказать требуемое соотношение, найдем отношение площадей этих двух треугольников:

$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH}$

В полученном выражении можно сократить общие множители $\frac{1}{2}$ и $BH$. После сокращения получаем:

$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{AM}{MC}$

По условию задачи нам дано, что $\frac{AM}{MC} = \frac{m}{n}$.

Следовательно, мы можем заменить отношение отрезков $\frac{AM}{MC}$ на отношение $\frac{m}{n}$:

$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{m}{n}$

Таким образом, мы доказали, что отношение площадей треугольников $ABM$ и $CBM$ равно отношению отрезков $AM$ и $MC$, то есть $\frac{m}{n}$.

Ответ: Утверждение $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{m}{n}$ доказано.

Условие 2015-2022.

750. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $\frac{AM}{MC} = \frac{m}{n}$. Докажите, что $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{m}{n}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).