Номер 755, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 755, страница 159.

Условие 2023.

755. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения треугольника, равновеликого (имеющего равную площадь) данному параллелограмму, воспользуемся формулами их площадей. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S_{пар} = a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot H$, где $b$ – длина основания, а $H$ – высота.

Чтобы площади были равны ($S_{пар} = S_{тр}$), должно выполняться равенство $a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot H$. Из этого равенства следует, что мы можем построить искомый треугольник, выбрав его основание и высоту определённым образом. Например, можно взять треугольник с той же высотой, что и у параллелограмма ($H = h$), но с основанием, вдвое большим ($b = 2a$). На этом принципе и будет основано построение.

Алгоритм построения:

1. Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем в качестве основания сторону $AD$.
2. Продолжим прямую, содержащую основание $AD$, за точку $D$.
3. На этой прямой отложим от точки $D$ отрезок $DE$, равный по длине отрезку $AD$. Для этого можно использовать циркуль, проведя окружность с центром в точке $D$ и радиусом $AD$. Точка пересечения окружности с продолжением прямой и будет точкой $E$. В результате получим отрезок $AE$, длина которого равна $2 \cdot AD$.
4. Соединим точку $B$ (или $C$) с полученной точкой $E$.
5. Треугольник $ABE$ является искомым треугольником, равновеликим параллелограмму $ABCD$.

Доказательство:

Докажем, что площадь построенного треугольника $ABE$ равна площади параллелограмма $ABCD$.Площадь параллелограмма $ABCD$ с основанием $AD$ равна $S_{ABCD} = AD \cdot h$, где $h$ – высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AD$.

Рассмотрим построенный треугольник $ABE$. Его основание – это отрезок $AE$. По построению, $AE = AD + DE = AD + AD = 2 \cdot AD$. Высота треугольника $ABE$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AE$, – это перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $AE$. Так как прямая $AE$ совпадает с прямой $AD$, эта высота в точности равна высоте $h$ параллелограмма $ABCD$.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABE$:$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AD) \cdot h = AD \cdot h$.

Сравнивая площади, получаем:$S_{\triangle ABE} = AD \cdot h$ и $S_{ABCD} = AD \cdot h$.Следовательно, $S_{\triangle ABE} = S_{ABCD}$.Построение выполнено верно.

Ответ: Искомый треугольник можно построить, например, на продолжении основания $AD$ параллелограмма $ABCD$ отложив отрезок $DE=AD$ и соединив точку $E$ с вершиной $B$. Полученный треугольник $ABE$ будет равновелик данному параллелограмму. Алгоритм построения и доказательство приведены выше.

Условие 2015-2022.

755. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).