Номер 759, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 759, страница 160.

Условие 2023.

759. В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AB$ проведена высота $CM$. Площадь треугольника $ACM$ равна $6\text{ см}^2$, а площадь треугольника $BCM$ – $54\text{ см}^2$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $CM$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Точка $M$ лежит на $AB$. Высота $CM$ делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$.

Дано:

Площадь треугольника $ACM$, $S_{\triangle ACM} = 6 \text{ см}^2$.

Площадь треугольника $BCM$, $S_{\triangle BCM} = 54 \text{ см}^2$.

1. Нахождение высоты $CM$ и отрезков гипотенузы $AM$ и $BM$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ACM$ и $BCM$:
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACM} + S_{\triangle BCM} = 6 + 54 = 60 \text{ см}^2$.

Треугольники $ACM$ и $BCM$ имеют общую высоту $CM$ (если рассматривать $AM$ и $BM$ как их основания). Запишем формулы их площадей:

$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM = 6$ (1)

$S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CM = 54$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot CM}{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM} = \frac{54}{6}$

$\frac{BM}{AM} = 9 \implies BM = 9 \cdot AM$

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$CM^2 = AM \cdot BM$

Подставим в эту формулу $BM = 9 \cdot AM$:

$CM^2 = AM \cdot (9 \cdot AM) = 9 \cdot AM^2$

Отсюда $CM = \sqrt{9 \cdot AM^2} = 3 \cdot AM$.

Теперь подставим $CM = 3 \cdot AM$ в уравнение (1):

$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot (3 \cdot AM) = 6$

$\frac{3}{2} AM^2 = 6$

$AM^2 = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4$

$AM = 2 \text{ см}$.

Теперь можем найти $BM$ и $CM$:

$BM = 9 \cdot AM = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}$.

$CM = 3 \cdot AM = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$.

2. Нахождение сторон треугольника $ABC$.

Гипотенуза $AB$ равна сумме отрезков $AM$ и $BM$:

$AB = AM + BM = 2 + 18 = 20 \text{ см}$.

Катет $AC$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ACM$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$

$AC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \text{ см}$.

Катет $BC$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BCM$:

$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 18^2 + 6^2 = 324 + 36 = 360$

$BC = \sqrt{360} = \sqrt{36 \cdot 10} = 6\sqrt{10} \text{ см}$.

Ответ: стороны треугольника $ABC$ равны $AC = 2\sqrt{10}$ см, $BC = 6\sqrt{10}$ см, $AB = 20$ см.

Условие 2015-2022.

759. В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AB$ проведена высота $CM$. Площадь треугольника $ACM$ равна $6 \text{ см}^2$, а площадь треугольника $BCM$ - $54 \text{ см}^2$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).