Номер 764, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 764, страница 160.

Условие 2023.

764. На продолжениях сторон $AB, BC, AC$ равностороннего треугольника $ABC$ за точки $B, C$ и $A$ соответственно отмечены точки $D, E$ и $F$ так, что $BD = CE = AF = 2AB$. Найдите площадь треугольника $DEF$, если площадь треугольника $ABC$ равна $1 \text{ см}^2$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$, а все углы этого треугольника равны $60^\circ$. Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) вычисляется по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle CAB) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. По условию задачи $S_{ABC} = 1 \text{ см}^2$, следовательно, $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 1$.

Площадь треугольника $DEF$ складывается из площади исходного треугольника $ABC$ и площадей трех треугольников, построенных на его сторонах: $\Delta ADF$, $\Delta BDE$ и $\Delta CEF$. $S_{DEF} = S_{ABC} + S_{ADF} + S_{BDE} + S_{CEF}$.

Рассмотрим эти три треугольника. По условию, точки $D, E, F$ лежат на продолжениях сторон $AB, BC, AC$ за точки $B, C, A$ соответственно, и отрезки $BD = CE = AF = 2AB = 2a$.

Найдем площадь треугольника $ADF$. Его стороны: $AF = 2a$ (по условию) и $AD = AB + BD = a + 2a = 3a$. Угол $\angle FAD$ является смежным с углом $\angle CAB$. Так как $\Delta ABC$ равносторонний, $\angle CAB = 60^\circ$, значит $\angle FAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Площадь $S_{ADF}$ равна: $S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AF \cdot \sin(\angle FAD) = \frac{1}{2} \cdot (3a) \cdot (2a) \cdot \sin(120^\circ) = 3a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, для треугольника $BDE$ имеем стороны $BD = 2a$ и $BE = BC + CE = a + 2a = 3a$. Угол $\angle DBE$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle DBE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Площадь $S_{BDE} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BE \cdot \sin(\angle DBE) = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot (3a) \cdot \sin(120^\circ) = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Для треугольника $CEF$ имеем стороны $CE = 2a$ и $CF = AC + AF = a + 2a = 3a$. Угол $\angle ECF$ является смежным с углом $\angle BCA$, поэтому $\angle ECF = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Площадь $S_{CEF} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot CF \cdot \sin(\angle ECF) = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot (3a) \cdot \sin(120^\circ) = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, площади всех трех "внешних" треугольников равны. Сравним площадь одного из них, например $S_{ADF}$, с площадью $S_{ABC}$: $\frac{S_{ADF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{1} = 6$. Отсюда следует, что площадь каждого из внешних треугольников в 6 раз больше площади треугольника $ABC$: $S_{ADF} = S_{BDE} = S_{CEF} = 6 \cdot S_{ABC} = 6 \cdot 1 = 6 \text{ см}^2$.

Теперь найдем искомую площадь треугольника $DEF$: $S_{DEF} = S_{ABC} + S_{ADF} + S_{BDE} + S_{CEF} = 1 + 6 + 6 + 6 = 19 \text{ см}^2$.

Ответ: $19 \text{ см}^2$.

Условие 2015-2022.

764. На продолжениях сторон $AB$, $BC$, $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ за точки $B$, $C$ и $A$ соответственно отмечены точки $D$, $E$ и $F$ так, что $BD = CE = AF = 2AB$. Найдите площадь треугольника $DEF$, если площадь треугольника $ABC$ равна $1 \text{ см}^2$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).