Номер 768, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 768, страница 160.

Условие 2023.

768. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle AMB = 117^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, нам дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, так как $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Пусть $\angle BAC = \angle BCA = x$.

$AM$ — биссектриса угла $A$, значит она делит угол $BAC$ пополам: $\angle BAM = \angle MAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{x}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABM$ мы можем записать: $\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ$.

Нам известно, что $\angle AMB = 117^\circ$. Подставим известные значения в уравнение: $\frac{x}{2} + \angle ABC + 117^\circ = 180^\circ$.

Выразим $\angle ABC$: $\angle ABC = 180^\circ - 117^\circ - \frac{x}{2} = 63^\circ - \frac{x}{2}$.

Теперь рассмотрим исходный треугольник $ABC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Подставим в это уравнение выражения для углов через $x$: $x + (63^\circ - \frac{x}{2}) + x = 180^\circ$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $2x - \frac{x}{2} + 63^\circ = 180^\circ$ $\frac{4x - x}{2} = 180^\circ - 63^\circ$ $\frac{3x}{2} = 117^\circ$ $3x = 117^\circ \times 2$ $3x = 234^\circ$ $x = \frac{234^\circ}{3}$ $x = 78^\circ$.

Мы нашли углы при основании треугольника $ABC$: $\angle BAC = \angle BCA = x = 78^\circ$.

Теперь найдем третий угол, $\angle ABC$: $\angle ABC = 63^\circ - \frac{x}{2} = 63^\circ - \frac{78^\circ}{2} = 63^\circ - 39^\circ = 24^\circ$.

Проверим: сумма углов треугольника $ABC$ должна быть $180^\circ$. $78^\circ + 78^\circ + 24^\circ = 156^\circ + 24^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны $78^\circ$, $24^\circ$ и $78^\circ$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $\angle A = 78^\circ$, $\angle B = 24^\circ$, $\angle C = 78^\circ$.

Условие 2015-2022.

768. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle AMB = 117^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).