Номер 763, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 763, страница 160.

Условие 2023.

763. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Вершина равнобедренного треугольника — это вершина $B$, противолежащая основанию. Вписанная окружность с центром $O$ и радиусом $r = 16$ см касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $9:8$, считая от вершины. Это означает, что $BK:KA = 9:8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $BK = 9x$, а $KA = 8x$.

Длина боковой стороны треугольника равна $AB = BK + KA = 9x + 8x = 17x$. Так как треугольник равнобедренный, то $BC = AB = 17x$.

Используем свойство касательных, проведенных из одной вершины к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

• Из вершины $A$: $AM = AK = 8x$.
• Из вершины $B$: $BL = BK = 9x$.
• Из вершины $C$: $CM = CL$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Поэтому точка касания $M$ на основании $AC$ является его серединой.Следовательно, $AC = AM + MC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8x = 16x$.Итак, стороны треугольника равны $17x$, $17x$ и $16x$.

Площадь треугольника можно найти двумя способами.

1. Через высоту и основание.
Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как $BH$ является и медианой, $H$ — середина $AC$, и $AH = \frac{AC}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (17x)^2 - (8x)^2 = 289x^2 - 64x^2 = 225x^2$.$BH = \sqrt{225x^2} = 15x$.Площадь треугольника $S$ равна:$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (16x) \cdot (15x) = 8x \cdot 15x = 120x^2$.

2. Через радиус вписанной окружности и полупериметр.
Найдем полупериметр $p$:$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17x + 17x + 16x}{2} = \frac{50x}{2} = 25x$.Площадь треугольника также вычисляется по формуле $S = p \cdot r$. С учетом, что $r=16$ см:$S = 25x \cdot 16 = 400x$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади, чтобы найти $x$:$120x^2 = 400x$.Поскольку $x$ не может быть равен нулю (так как он представляет собой коэффициент пропорциональности для длин сторон), мы можем разделить обе части уравнения на $120x$:$x = \frac{400}{120} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

Наконец, найдем площадь треугольника, подставив значение $x$ в одно из выражений для площади, например, в $S = 400x$:$S = 400 \cdot \frac{10}{3} = \frac{4000}{3} = 1333\frac{1}{3}$ см².

Ответ: $\frac{4000}{3}$ см² или $1333\frac{1}{3}$ см².

Условие 2015-2022.

763. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении $9 : 8$, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).