Номер 761, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 761, страница 160.

Условие 2023.

761. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника равны $AC = b$ и $BC = a$, а гипотенуза равна $AB = c$.

Биссектриса $CL$ прямого угла $C$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AL = 2$ см и $LB = 6$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = AL + LB = 2 + 6 = 8$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AL}{LB}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{b}{a} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Из этого соотношения выразим один катет через другой:

$a = 3b$

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражение для $a$ и значение $c$:

$(3b)^2 + b^2 = 8^2$

$9b^2 + b^2 = 64$

$10b^2 = 64$

$b^2 = \frac{64}{10} = 6.4$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab$

Подставим в формулу площади выражение $a = 3b$:

$S = \frac{1}{2}(3b)b = \frac{3}{2}b^2$

Теперь мы можем найти площадь, подставив найденное значение $b^2$:

$S = \frac{3}{2} \cdot 6.4 = 3 \cdot 3.2 = 9.6$ см$^2$.

Ответ: 9,6 см$^2$.

Условие 2015-2022.

761. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).