Номер 767, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 767, страница 160.

Условие 2023.

767. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Это утверждение известно как теорема Вивиани. Докажем его, используя метод площадей.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Пусть $P$ — произвольная точка, расположенная внутри этого треугольника. Обозначим расстояния (длины перпендикуляров) от точки $P$ до сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $h_1$, $h_2$ и $h_3$ соответственно.

Соединим точку $P$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разделит исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle BPC$, $\triangle CPA$ и $\triangle APB$.

Сумма площадей этих трех треугольников равна площади исходного треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = S_{BPC} + S_{CPA} + S_{APB}$

Площадь каждого из этих треугольников можно вычислить по формуле "половина произведения основания на высоту". В нашем случае основаниями являются стороны треугольника $ABC$, а высотами — перпендикуляры, опущенные из точки $P$.

• Площадь треугольника $BPC$ с основанием $BC = a$ и высотой $h_1$ равна $S_{BPC} = \frac{1}{2} a h_1$.
• Площадь треугольника $CPA$ с основанием $AC = a$ и высотой $h_2$ равна $S_{CPA} = \frac{1}{2} a h_2$.
• Площадь треугольника $APB$ с основанием $AB = a$ и высотой $h_3$ равна $S_{APB} = \frac{1}{2} a h_3$.

Подставим эти выражения в равенство для площадей:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} a$ за скобки:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

Теперь выразим сумму расстояний $h_1 + h_2 + h_3$:
$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{2 S_{ABC}}{a}$

Для данного равностороннего треугольника его площадь $S_{ABC}$ и длина стороны $a$ являются постоянными величинами (константами). Следовательно, и выражение $\frac{2 S_{ABC}}{a}$ является постоянной величиной, не зависящей от выбора точки $P$ внутри треугольника.

Более того, мы можем найти, чему именно равна эта константа. Площадь любого треугольника также можно выразить через его высоту $H$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a H$. Подставим это в наше полученное выражение:
$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{2 (\frac{1}{2} a H)}{a} = \frac{aH}{a} = H$

Таким образом, сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной величиной, равной высоте этого треугольника.

Условие 2015-2022.

767. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).