Номер 765, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 765, страница 160.

Условие 2023.

765. В треугольнике $ABC$ отметили точку $M$ так, что площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны. Докажите, что $M$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$ и точка $M$ внутри него, такая что площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны. Обозначим эту площадь как $S$, то есть $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle BMC} = S_{\triangle AMC} = S$. Необходимо доказать, что $M$ — это точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

1. Проведем прямую через точки $A$ и $M$. Пусть она пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Чтобы доказать, что $M$ лежит на медиане из вершины $A$, нам нужно показать, что отрезок $AK$ является медианой, то есть что точка $K$ — середина стороны $BC$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ACK$. У них есть общая высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle ACK}} = \frac{BK}{CK}$

3. Аналогично, рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle MCK$. У них есть общая высота, опущенная из вершины $M$ на прямую $BC$. Поэтому отношение их площадей также равно отношению их оснований:

$\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle MCK}} = \frac{BK}{CK}$

4. Из двух предыдущих пунктов следует, что:

$\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle ACK}} = \frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle MCK}}$

5. Площадь треугольника $\triangle AMB$ является разностью площадей треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle MBK$. То есть, $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle ABK} - S_{\triangle MBK}$.

Площадь треугольника $\triangle AMC$ является разностью площадей треугольников $\triangle ACK$ и $\triangle MCK$. То есть, $S_{\triangle AMC} = S_{\triangle ACK} - S_{\triangle MCK}$.

6. По условию задачи $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle AMC}$. Значит, мы можем приравнять правые части выражений из пункта 5:

$S_{\triangle ABK} - S_{\triangle MBK} = S_{\triangle ACK} - S_{\triangle MCK}$

7. Обозначим отношение $\frac{BK}{CK}$ как $k$. Тогда из пункта 2 следует, что $S_{\triangle ABK} = k \cdot S_{\triangle ACK}$, а из пункта 3 — что $S_{\triangle MBK} = k \cdot S_{\triangle MCK}$. Подставим эти выражения в равенство из пункта 6:

$k \cdot S_{\triangle ACK} - k \cdot S_{\triangle MCK} = S_{\triangle ACK} - S_{\triangle MCK}$

Вынесем $k$ за скобки в левой части:

$k \cdot (S_{\triangle ACK} - S_{\triangle MCK}) = S_{\triangle ACK} - S_{\triangle MCK}$

Выражение в скобках равно площади треугольника $AMC$ ($S_{\triangle AMC}$), поэтому:

$k \cdot S_{\triangle AMC} = S_{\triangle AMC}$

8. Так как точка $M$ находится внутри треугольника $ABC$, то площадь треугольника $AMC$ строго больше нуля ($S_{\triangle AMC} > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $S_{\triangle AMC}$, получив $k=1$.

9. Поскольку $k = \frac{BK}{CK}$, равенство $k=1$ означает, что $BK = CK$. Это доказывает, что точка $K$ является серединой стороны $BC$, а отрезок $AK$ — медианой треугольника $ABC$. Так как точка $M$ по построению лежит на прямой $AK$, она лежит на медиане, проведенной из вершины $A$.

10. Абсолютно аналогичные рассуждения можно провести для луча $BM$. Проведя его до пересечения со стороной $AC$ в точке $L$ и используя равенство площадей $S_{\triangle BMA} = S_{\triangle BMC}$, мы докажем, что $L$ — середина стороны $AC$. Таким образом, точка $M$ лежит также и на медиане $BL$.

11. Поскольку точка $M$ является точкой пересечения двух медиан треугольника ($AK$ и $BL$), она и есть точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

765. В треугольнике $ABC$ отметили точку $M$ так, что площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны. Докажите, что $M$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).