Номер 770, страница 161 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 770, страница 161.

Условие 2023.

770. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удалён от концов её боковой стороны на 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC и AD — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, трапеция равнобокая, значит $AB = CD$. Пусть O — центр вписанной окружности. Расстояния от центра O до концов боковой стороны CD, вершин C и D, равны $OC = 12$ см и $OD = 16$ см.

Центр вписанной в многоугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, отрезки OC и OD являются биссектрисами углов $∠BCD$ и $∠ADC$ соответственно. Таким образом, $∠OCD = \frac{1}{2}∠BCD$ и $∠ODC = \frac{1}{2}∠ADC$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180°$, так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а боковая сторона является секущей. То есть, $∠BCD + ∠ADC = 180°$.

Рассмотрим треугольник OCD. Сумма его углов равна $180°$. Найдем угол $∠COD$:
$∠COD = 180° - (∠OCD + ∠ODC) = 180° - (\frac{1}{2}∠BCD + \frac{1}{2}∠ADC) = 180° - \frac{1}{2}(∠BCD + ∠ADC)$.
Подставив известное значение суммы углов, получим:
$∠COD = 180° - \frac{1}{2}(180°) = 180° - 90° = 90°$.

Следовательно, треугольник OCD является прямоугольным с прямым углом при вершине O. Стороны OC и OD — это катеты, а сторона CD — гипотенуза. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны CD:
$CD^2 = OC^2 + OD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
$CD = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как трапеция равнобокая, то ее боковые стороны равны: $AB = CD = 20$ см.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны (свойство описанного четырехугольника). Для трапеции ABCD это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $BC + AD = AB + CD$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + CD + BC + AD$.
Заменяя сумму оснований $BC + AD$ на сумму боковых сторон $AB + CD$, получаем:
$P = (AB + CD) + (AB + CD) = 2(AB + CD)$.
Подставим известные значения длин боковых сторон:
$P = 2(20 + 20) = 2 \times 40 = 80$ см.

Ответ: 80 см.

Условие 2015-2022.

770. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удалён от концов её боковой стороны на 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).