Номер 753, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 753, страница 159.

Условие 2023.

753. Через вершину параллелограмма проведите прямые так, чтобы они разбили данный параллелограмм на:

1) четыре равновеликих многоугольника;

2) пять равновеликих многоугольников.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1) четыре равновеликих многоугольника

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с площадью $S$. Выберем вершину $A$, через которую будем проводить прямые.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь каждого из этих треугольников равна $\frac{S}{2}$.

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC} = \frac{S}{2}$

Чтобы разбить параллелограмм на четыре равновеликих многоугольника, площадь каждого из которых будет $\frac{S}{4}$, мы можем разделить каждый из треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ на две равновеликие части.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Чтобы разделить его на два треугольника равной площади прямой, выходящей из вершины $A$, нужно провести медиану из этой вершины к противоположной стороне $BC$. Пусть $M_1$ — середина стороны $BC$. Тогда отрезок $AM_1$ является медианой $\triangle ABC$.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Следовательно,

$S_{\triangle ABM_1} = S_{\triangle AM_1C} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{4}$

Аналогично поступим с $\triangle ADC$. Проведем медиану $AM_2$ из вершины $A$ к стороне $CD$. Пусть $M_2$ — середина стороны $CD$. Тогда

$S_{\triangle ADM_2} = S_{\triangle AM_2C} = \frac{1}{2} S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{4}$

Таким образом, мы провели три прямые через вершину $A$: $AM_1$, $AC$ и $AM_2$. Эти прямые разбивают параллелограмм $ABCD$ на четыре треугольника: $\triangle ABM_1$, $\triangle AM_1C$, $\triangle ACM_2$ и $\triangle ADM_2$. Площадь каждого из этих треугольников равна $\frac{S}{4}$.

Ответ: Из вершины $A$ параллелограмма $ABCD$ следует провести три прямые: диагональ $AC$ и отрезки $AM_1$ и $AM_2$, где $M_1$ — середина стороны $BC$, а $M_2$ — середина стороны $CD$. Эти прямые разделят параллелограмм на четыре треугольника равной площади.

2) пять равновеликих многоугольников

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с площадью $S$. Выберем вершину $A$. Нам нужно разбить параллелограмм на пять многоугольников равной площади, то есть площадь каждого должна быть $\frac{S}{5}$.

Для этого проведем четыре прямые из вершины $A$, которые пересекут стороны $BC$ и $CD$. Пусть точки пересечения $P_1, P_2$ лежат на стороне $BC$, а точки $P_3, P_4$ — на стороне $CD$. Эти четыре прямые $AP_1, AP_2, AP_3, AP_4$ разделят параллелограмм на пять многоугольников. Найдем положения точек $P_1, P_2, P_3, P_4$.

Пусть $h_{BC}$ — высота параллелограмма, проведенная к стороне $BC$, а $h_{CD}$ — высота, проведенная к стороне $CD$. Тогда площадь параллелограмма $S = |BC| \cdot h_{BC} = |CD| \cdot h_{CD}$.

Пять многоугольников, образованных прямыми: $\triangle ABP_1$, $\triangle AP_1P_2$, четырехугольник $AP_2CP_3$, $\triangle AP_3P_4$, $\triangle AP_4D$.

1. Площадь первого многоугольника (треугольника $\triangle ABP_1$) должна быть $\frac{S}{5}$.

$S_{\triangle ABP_1} = \frac{1}{2} |BP_1| \cdot h_{BC} = \frac{S}{5} = \frac{1}{5} |BC| \cdot h_{BC}$

Отсюда находим $|BP_1| = \frac{2}{5}|BC|$.

2. Площадь второго многоугольника ($\triangle AP_1P_2$) также должна быть $\frac{S}{5}$.

$S_{\triangle AP_1P_2} = \frac{1}{2} |P_1P_2| \cdot h_{BC} = \frac{S}{5} \implies |P_1P_2| = \frac{2}{5}|BC|$

Таким образом, точка $P_2$ находится на $BC$ на расстоянии $|BP_2| = |BP_1| + |P_1P_2| = \frac{4}{5}|BC|$ от точки $B$.

3. Третий многоугольник — четырехугольник $AP_2CP_3$. Его площадь $\frac{S}{5}$. Этот четырехугольник можно разбить на два треугольника: $\triangle AP_2C$ и $\triangle ACP_3$.

$|P_2C| = |BC| - |BP_2| = |BC| - \frac{4}{5}|BC| = \frac{1}{5}|BC|$.

$S_{\triangle AP_2C} = \frac{1}{2} |P_2C| \cdot h_{BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}|BC| \cdot h_{BC} = \frac{1}{10}S$.

Поскольку $S_{AP_2CP_3} = S_{\triangle AP_2C} + S_{\triangle ACP_3} = \frac{S}{5}$, то

$S_{\triangle ACP_3} = \frac{S}{5} - S_{\triangle AP_2C} = \frac{S}{5} - \frac{S}{10} = \frac{S}{10}$.

Площадь $\triangle ACP_3$ равна $\frac{1}{2}|CP_3| \cdot h_{CD}$.

$\frac{1}{2}|CP_3| \cdot h_{CD} = \frac{S}{10} = \frac{1}{10}|CD| \cdot h_{CD} \implies |CP_3| = \frac{1}{5}|CD|$.

4. Четвертый многоугольник ($\triangle AP_3P_4$) имеет площадь $\frac{S}{5}$.

$S_{\triangle AP_3P_4} = \frac{1}{2}|P_3P_4| \cdot h_{CD} = \frac{S}{5} \implies |P_3P_4| = \frac{2}{5}|CD|$.

5. Пятый многоугольник ($\triangle AP_4D$) должен иметь площадь $\frac{S}{5}$. Проверим это.

$|P_4D| = |CD| - |CP_3| - |P_3P_4| = |CD| - \frac{1}{5}|CD| - \frac{2}{5}|CD| = \frac{2}{5}|CD|$.

$S_{\triangle AP_4D} = \frac{1}{2}|P_4D| \cdot h_{CD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}|CD| \cdot h_{CD} = \frac{1}{5}S$.

Все условия выполняются. Таким образом, нужно разместить точки $P_1, P_2$ на стороне $BC$ и $P_3, P_4$ на стороне $CD$ в соответствии с найденными соотношениями и провести через них прямые из вершины $A$.

Ответ: Нужно провести четыре прямые из вершины $A$ к точкам $P_1, P_2$ на стороне $BC$ и точкам $P_3, P_4$ на стороне $CD$, где точки выбраны так, что: $|BP_1| = \frac{2}{5}|BC|$, $|BP_2| = \frac{4}{5}|BC|$, $|CP_3| = \frac{1}{5}|CD|$, $|CP_4| = \frac{3}{5}|CD|$.

Условие 2015-2022.

753. Через вершину параллелограмма проведите прямые так, чтобы они разбили данный параллелограмм на:

1) четыре равновеликих многоугольника;

2) пять равновеликих многоугольников.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).