Номер 741, страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 741, страница 159.

Условие 2023.

741. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 54 см, а высота, проведённая к основанию, – 9 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $a$, основание — $b$, а высота, проведённая к основанию, — $h$.

Из условия задачи нам известны периметр $P = 54$ см и высота $h = 9$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, поэтому для равнобедренного треугольника формула периметра выглядит так: $P = 2a + b$.
Подставим известное значение:
$2a + b = 54$.

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой и делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников гипотенузой является боковая сторона $a$, одним катетом — высота $h$, а другим катетом — половина основания $b/2$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$a^2 = h^2 + (b/2)^2$.
Подставим известное значение высоты $h = 9$ см:
$a^2 = 9^2 + (b/2)^2$
$a^2 = 81 + b^2/4$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
1) $2a + b = 54$
2) $a^2 = 81 + b^2/4$

Для решения системы выразим $b$ из первого уравнения:
$b = 54 - 2a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 = 81 + (54 - 2a)^2 / 4$.

Упростим выражение в скобках, вынеся общий множитель 2:
$a^2 = 81 + (2(27 - a))^2 / 4$
$a^2 = 81 + 4(27 - a)^2 / 4$
$a^2 = 81 + (27 - a)^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$a^2 = 81 + (27^2 - 2 \cdot 27 \cdot a + a^2)$
$a^2 = 81 + 729 - 54a + a^2$.

Сократим $a^2$ в обеих частях уравнения:
$0 = 81 + 729 - 54a$
$0 = 810 - 54a$.

Отсюда найдём $a$:
$54a = 810$
$a = 810 / 54 = 15$.
Итак, длина боковой стороны равна 15 см.

Теперь, зная $a$, найдём длину основания $b$ из уравнения для периметра:
$b = 54 - 2a = 54 - 2 \cdot 15 = 54 - 30 = 24$ см.

Площадь треугольника ($S$) находится по формуле: $S = 1/2 \cdot b \cdot h$.
Подставляем известные и найденные значения:
$S = 1/2 \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ см$^2$.

Ответ: $108$ см$^2$.

Условие 2015-2022.

741. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 54 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).